Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合）， 过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为________ ．

Answer 1

【答案】或

【解析】

首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=，即可求得AC的长、∠AEF与∠BAC的度数，然后分别从从∠AFE=90°与∠EAF=90°去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得CF的长，继而求得答案．

根据题意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，

∵DE⊥BC，

∴∠FED=90°∠EFD=60°,∠BEF=2∠FED=120°，

∴∠AEF=180°∠BEF=60°，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°，BC=9，

∴AC=BCtan∠B==1,∠BAC=60°，

如图①若∠AFE=90°，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，

∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠FAC=∠EFD=30°，

∴CF=ACtan∠FAC=，

∴BD=DF= =；

如图②若∠EAF=90°，

则∠FAC=90°∠BAC=30°，

∴CF=ACtan∠FAC==，

∴BD=DF==，

∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：或 .

故答案为：或 .