情景观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开.得到△ABC和△A′C′D.如图1所示.将将△A′C′D的顶点A′与点A重合.并绕点A按逆时针方向旋转.使点D.A(A′).B在同一条直线上.如图2所示．观察图2可知:与BC相等的线段是AD.∠CAC′=90°,问题探究:如图3.△ABC中.AG⊥BC于点G.以A为直角顶点.分别以AB.AC为直角边.向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．情景观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示，将将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是AD，∠CAC′=90°；
问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H，若AB=kAE、AC=kAF，探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

分析观察图2可知：可发现△ABC≌△AC′D，即可解题；
问题探究：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；
拓展延伸：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题．

解答解：观察图2即可发现△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，
∴∠CAC′=180°-∠C′AD-∠CAB=90°；
故答案为：AD，90；
问题探究：FQ=EP，
理由如下：
∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，
∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，
又∵AF=AC，
在△AFQ与△CAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠FAQ}\\{∠AGC=∠FQA}\\{AF=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFQ≌△CAG（AAS），
∴FQ=AG，
同理EP=AG，
∴FQ=EP；
拓展延伸：HE=HF，
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q，
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
又AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA，
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FQ=AC：FA，
∵AB=k•AE，AC=k•AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FQ，
∴EP=FQ，
又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，
在Rt△EPH与Rt△FQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPH=∠FQH}\\{∠EHP=∠FHQ}\\{EP=FQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS），
∴HE=HF．

点评本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键．

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