Question

【题目】如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且

AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，

（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。

∵在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，

∴△ABC≌DEF（SAS）。∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF。

∴四边形BCEF是平行四边形．

（2）解：连接BE，交CF与点G，

∵四边形BCEF是平行四边形，

∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形。

∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，

∴AC=。

∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC。

∴，即。∴。

∵FG=CG，∴FC=2CG=，

∴AF=AC﹣FC=5﹣。

∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．

【解析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，根据SAS得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形。

（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值。