【题目】如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,点G是CE的中点,且DG⊥CE,垂足为点G.
(1)求证:DC=BE;
(2)若∠AEC=54°,求∠BCE的度数.
【答案】(1)证明见解析(2)54°
【解析】
(1)由G是CE的中点,DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC,由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=AB,即可得到DC=BE;
(2)由DE=DC得到∠DEC=∠BCE,由DE=BE得到∠B=∠EDB,根据三角形外角性质得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE,则∠B=2∠BCE,由此根据外角的性质来求∠BCE的度数.
(1)∵G是CE的中点,DG⊥CE,
∴DG是CE的垂直平分线,
∴DE=DC,
∵AD是高,CE是中线,
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线,
∴DE=BE= AB,
∴DC=BE;
(2)∵DE=DC,
∴∠DEC=∠BCE,
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE,
∵DE=BE,
∴∠B=∠EDB,
∴∠B=2∠BCE,
∴∠AEC=3∠BCE=54°,则∠BCE=18°.
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【题目】如图,已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A(-1,-1)、B(-4,-3)、C(-4,-1).
(1)将△ABC向右平移三个单位后得到则_________;
(2)画出△ABC关于原点O中心对称的图形.
(3)将△ABC绕原点A按顺时针方向旋转90°后得到画出则的坐标为_________,的坐标为_________.
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【题目】我们定义:如图,在△中,把绕点按顺时针方向旋转得到,把绕点按逆时针方向旋转得到,连接,当时,我们称△是△的“旋补三角形”,△边上的中线叫做的“旋补中线”,点叫做“旋补中心”.
⑴ 特例感知:在如图、如图中,是的“旋补三角形”,是的“旋补中线”.
① 如图,当为等边三角形时,与的数量关系为= ;
② 如图,当,时,则长为 .
⑵ 精确作图:如图,已知在四边形内部存在点,使得是的“旋补三角形”(点D的对应点为点A,点C的对应点为点B),请用直尺和圆规作出点(要求:保留作图痕迹,不写作法和证明)
⑶ 猜想论证:在如图中,当△为任意三角形时,猜想与的数量关系,并给予证明.
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【题目】在如图所示的方格图中,我们称每个小正方形的顶点为“格点”,以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”,根据图形,回答下列问题.
(1)图中格点三角形A′B′C′是由格点三角形ABC通过怎样的平移得到的?
(2)如果以直线a,b为坐标轴建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(-3,4),请写出格点三角形DEF各顶点的坐标,并求出三角形DEF的面积.
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【题目】某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.
(1)求每辆A型车和B型车的售价各多少万元.
(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元. 则有哪几种购车方案?
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB于点E,且CD=CB,∠ABC+∠ADC=180°.求证:AE=(AB+AD).
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【题目】某班从三名男生(含小强)和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”,规定女生选n名.
(1)当n为何值时,男生小强参加是确定事件?
(2)当n为何值时,男生小强参加是随机事件?
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【题目】某学校计划组织师生参加哈尔滨冰雪节,感受冰雪艺术的魅力.出租公司现有甲、乙两种型号的客车可供租用,且每辆乙型客车的租金比每辆甲型客车少60元.若该校租用3辆甲种客车,4辆乙种客车,则需付租金1720元.
(1)该出租公司每辆甲、乙两型客车的租金各为多少元?
(2)若学校计划租用6辆客车,租车的总租金不超过1560元,那么最多租用甲型客车多少辆?
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