Question

几何体的三视图相互关联．已知直三棱柱的三视图如图，在△PMN中，∠MPN=90°，PN=4，sin∠PMN=

4

5

．
（1）求BC及FG的长；
（2）若主视图与左视图两矩形相似，求AB的长；
（3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积．

Answer 1

考点：由三视图判断几何体,相似多边形的性质

专题：

分析：（1）由图可知BC=MN，FG=PM，进一步由锐角三角函数的意义与勾股定理求得答案即可；
（2）利用相似的性质列出比例式，代入数值求得答案即可；
（3）求出五个面的面积和得出答案即可．

解答：解：（1）由图可知：
BC=MN，FG=PM，
∵sin∠PMN=

PN

MN

=

4

5

，PN=4，
∴MN=5，
∴FG=PM=

MN2-PN2

=3；
（2）∵矩形ABCD与矩形EFGH相似，且AB=EF，
∴

AB

FG

=

BC

EF

，
即

AB

3

=

5

AB

，
∴AB=

15

；
（3）直三棱柱的表面积：

1

2

×3×4×2+5×

15

+3×

15

+4×

15

=12+12

15

．

点评：此题考查立体图形的三视图，锐角三角函数，相似的性质以及立体图形的表面积，从三视图入手，找出边之间的关系，利用三角函数解决问题．