Question

14．如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂，如此进行下去，得到四边形A_nB_nC_nD_n．
（1）求证：四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；
（2）四边形A₃B₃C₃D₃是矩形；
（3）四边形A₁B₁C₁D₁的周长为a+b；
（4）四边形A_nB_nC_nD_n的面积为$\frac{ab}{{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线定理得出A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC，进而得出四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形，再利用矩形的判定得出答案；
（2）直接利用矩形的性质以及结合菱形的判定方法得出答案；
（3）利用三角形中位线定理得出四边形A₁B₁C₁D₁是的周长；
（4）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，进而得出答案．

解答 （1）证明：∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形；
∵AC丄BD，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；

（2）解：∵四边形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁（矩形的两条对角线相等）；
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位线定理），
∴四边形A₂B₂C₂D₂是菱形；
∴四边形A₃B₃C₃D₃是矩形，
故答案为：矩；

（3）解：根据三角形中位线定理可得D₁C₁=A₁B₁=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，A₁D₁=B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$b．故四边形A₁B₁C₁D₁是的周长为a+b，
故答案为：a+b．

（4）解：∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四边形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是$\frac{ab}{{2}^{n+1}}$．
故答案为：$\frac{ab}{{2}^{n+1}}$．

点评 此题主要考查了中点四边形以及三角形中位线定理，正确掌握矩形以及菱形的判定方法是解题关键．