Question

【题目】直线y=x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BO向O点移动（不考虑点E与B、O两点重合的情况），过点E作EF∥AB，交x轴于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠后，与点A对应的点记作点C，与点B对应的点记作点D，得到四边形CDEF，设点E的运动时间为t秒．

（1）画出当t=2时，四边形ABEF沿直线EF折叠后的四边形CDEF（不写画法）
（2）在点E运动过程中，CD交x轴于点G，交y轴于点H，试探究t为何值时，△CGF的面积为；
（3）设四边形CDEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1：

（2）

解：如图2：

由折叠的性质，得∠C=∠A=∠COA=45°，AF=BE=CF=t，

S△CFG=CFFG=t2=，

解得t=，t=﹣（不符合题意，舍）；

（3）

解：

分两种情况讨论：

①当0＜t≤3时，如图2：

四边形DCEF落在第一象限内的图形是△DFG，

∴S=t2，

∵S=t2，在t＞0时，S随t增大而增大，

∴t=3时，S最大=；

②当3＜t＜6时，如图2：

四边形DCEF落在第一象限内的图形是四边形DHOF，

∴S四边形CHOF=S△CGF﹣S△HGO，

∴S=t2﹣2（2t﹣6）2

=﹣t2+12t﹣18

=﹣（t﹣4）2+6，

∵a=﹣＜0，

∴S有最大值，

∴当t=4时，S最大=6，

综上所述，当S=4时，S最大值为6．

【解析】（1）根据轴对称的性质，可得CDEF与ABEF全等，根据全等，可得答案；
（2）根据轴对称，可得△CGF，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：当0＜t≤3时，根据三角形的面积公式，可得答案；当3＜t＜6时，根据图形割补法，可得答案．