Question

4．如图，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数）经过A（4，0）和B（0，4）两点，其顶点为C．
（1）求该抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．
①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；
②若S为整数，则这样的M点有7个．

Answer 1

分析 （1）先利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设交点式y=a（x+2）（x-4），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式，再把解析式配成顶点式可得C的坐标；
（2）①过M点作MN∥y轴交AB于N点，如图，利用待定系数法求出直线AB的解析式，则可设M（t，-$\frac{1}{2}$t²+t+4），则N（t，-t+4），于是用t可表示出MN，再利用S=S_△BMN+S_△AMN=$\frac{1}{2}$•4•MN得到S与m的二次函数，然后根据二次函数的性质求解；
②利用S的整数值可为1、2、3、4，则计算出对应的t的值，从而可判断M点的个数．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），
把B（0，4）代入得a•2•（-4）=4，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4），即y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
∵y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，$\frac{9}{2}$）；
（2）①过M点作MN∥y轴交AB于N点，如图，
设AB的解析式为y=mx+n，把B（0，4）、A（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+4，
设M（t，-$\frac{1}{2}$t²+t+4），则N（t，-t+4），
∴MN=-$\frac{1}{2}$t²+t+4-（-t+4）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∴S=S_△BMN+S_△AMN=$\frac{1}{2}$•4•MN=$\frac{1}{2}$•4•（-$\frac{1}{2}$t²+2t）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，S有最大值，最大值为4；
②∵S的最大值为4，
∴S的整数值可为1、2、3、4，
当S=1时，-（t-2）²+4=1，解得t=2±$\sqrt{3}$，
当S=2时，-（t-2）²+4=2，解得t=2±$\sqrt{2}$，
当S=3时，-（t-2）²+4=3，解得t=1或3，
当S=4时，-（t-2）²+4=4，解得t=2，
∴这样的M点有7个．
故答案为7．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．