Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．对称轴为直线，点在抛物线上．

（1）如图1，为直线下方抛物线上的一点，连接、．当的面积最大时，在直线上取一点，过作轴的垂线，垂足为点，连接，．若时，求的值；

（2）将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过原点．与轴的另一个交点为．设是抛物线上任意一点，点在直线上，能否成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能、直接写出点的坐标，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）能，P点的坐标为：或 或或

【解析】

(1) 先求出Ａ、Ｂ、C、 D两点坐标，利用待定系数法求出直线CD的直线方程；如图1中，过点E作EG //y轴交直线CD于G．设E (m,+2m-3)，则G (m,-2m-3)，GE=--4m．根据S△EDC=·EG·|DX|=(- -4m) ×4=-2 +8，可知m=-2时，△DEC的面积最大，此时E(-2, -3) ，再证明Rt△EHM≌Rt△BON即可解决问题；
（2）假设存在.如图2中.作P M⊥x轴于M，P N⊥对称轴|于N，对称轴l|交0A于K，由△PMF≌△PNQ，推出PM=PN，推出点P在∠MKN的角平分线上，只要求出直线KP的解析式，构建方程组即可求得P、P的坐标，同法可求P、 P4的坐标．

解：（1）由题意A(1,0)，B(-3,0)，C(0,-3)，D(-4,5)，

设直线CD的解析式为y= kx+b,则有
b=-3，-4k+b=5 ∴k=-2，b=-3

∴直线CD的解析式为y=-2x-3
如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G，设E(m,+2m-3)，则G(m,-2m-3)

∴GE=-m-4m

∴S△EDC=·EG·|DX|=(--4m) ×4=-2 +8，

∵-2＜0，∴m=-2时，△DEC的面积最大，此时E(-2,-3)，

∵C(0,-3)，

∴EC∥AB，设CE交对称轴于H，∵B(1,0)，

∴EH=OB=1，

∵EM=BN，

∴Rt△EHM≌Rt△BON，

∴MH=ON=OC=

∴EM=BN=，

∴EM+MN+MB=

（2）假设存在这样的点，如图2，作PM⊥x轴于M，PN⊥对称轴l于N，对称轴l交OA于K，

由PQ=PF，∠QPF=90°，∠NQP =∠MFP ，可得△PMF≌△PNQ

∴PM=PN，∴点P在∠MKN的角平分线上，

∵直线KP过(-1,0)，与x轴成45°角，过二、三、四象限，

∴直线KP的解析式为y=-x-1，

∵抛物线向右平移了 3个单位，

∴抛物线y的解析式为y=x-4x，

点P 是抛物线y与直线KP 的交点

由

解得或

∴P，P

同法可知，直线y=x+1与抛物线的交点P3、P4符合条件，

由

解得或

∴P3

P4

综上所述，满足条件的点P坐标为：

或 或或