[题目]如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠BAC=α.点D在边AC上(不与点A.C重合)连接BD.点K为线段BD的中点.过点D作DE⊥AB于点E.连结CK.EK.CE.将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度(旋转角小于90°)(1)如图1.若α=45°.则△ECK的形状为 ,(2)在(1)的条件下.若将图1中的△ADE绕点A旋转.使得D.E.B三点共线.点K为线段BD的中点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D在边AC上（不与点A，C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°）

（1）如图1，若α=45°，则△ECK的形状为______；

（2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK；

（3）若△ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含α的三角函数表示）．

【答案】（1）△ECK是等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-AEtanα=2CK．理由见解析．

【解析】

（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC，∠EKC =90°即可；

（2）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q，结合等腰直角三角形的性质利用SAS可证△AEC≌△BGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.

（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得=，易证△CAE∽△CBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.

（1）解：结论：△ECK是等腰直角三角形．

理由：如图1中，

∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠A=∠CBA=45°，

∴CA=CB，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∵DK=KB，

∴EK=KB=DK=BD，

∴∠KEB=∠KBE，

∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，

∵∠DCB=90°，DK=KB，

∴CK=KB=KD=BD，

∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，

∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，

∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，

∴△ECK是等腰直角三角形．

（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．

∵∠α=45°，DE⊥AE，

∴∠AED=90°，∠DAE=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE=AE=BG，

∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

∵AC=BC，

∴△AEC≌△BGC（SAS），

∴CE=CG，∠5=∠BCG，

∴∠ECG=∠ACB=90°，

∴△ECG是等腰直角三角形，

∵KD=KB，DE=BG，

∴KE=KG，

∴CK=EK=KG，

∴BE-AE= BE-BG=EG=EK+KG =2CK．

（3）解：结论：BE-AEtanα=2CK．

理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q．

，∠ACB=90°，

∠CAE=∠CBG，

在RtACB中，tanα=，

在Rt△ADE中，tanα==，

∴=，

∴△CAE∽△CBG，

∴∠ACE=∠BCG，

∴∠ECG=∠ACB=90°，

∵KD=KB，DE=BG，

∴KE=KG，

∴EG=2CK，

∵BE-BG=EG=2CK，

∴BE-DE=2CK，

∴BE-AEtanα=2CK．

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