Question

【题目】如图，在直角坐标系中，，，是线段上靠近点的三等分点.

（1）若点是轴上的一动点，连接、，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；

（2）如图2，过点作，交于点，再将绕点作顺时针方向旋转，旋转角度为，记旋转中的三角形为，在旋转过程中，直线与直线的交点为，直线与直线交于点，当为等腰三角形时，请直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）α的值为45°，90°，135°，180°．

【解析】

（1）作HG⊥OB于H．由HG∥AO，求出OG，HG，即可得到点H的坐标，作点B关于y轴的对称点B′，连接B′H交y轴于点M，则B'（-2，0），此时MB+MH的值最小，最小值等于B'H的长；求得直线B′H的解析式为y= ，即可得到点M的坐标为．
（2）依据△OST为等腰三角形，分4种情况画出图形，即可得到旋转角的度数．

解：（1）如图1，作HG⊥OB于H．

∵HG∥AO，
∴

∵OB=2，OA= ，
∴GB= ，HG= ，
∴OG=OB-GB= ，
∴H（，）

作点B关于y轴的对称点B′，连接B′H交y轴于点M，则B'（-2，0），
此时MB+MH的值最小，最小值等于B'H的长．

∵B'（-2，0），H（，）

B'H=

∴MB+MH的最小值为

设直线B'H的解析式为y=kx+b，则有

解得：

∴直线B′H的解析式为

当x=0时，y=

∴点M的坐标为：

（2）如图，当OT=OS时，α=75°-30°=45°；

如图，当OT=TS时，α=90°；

如图，当OT=OS时，α=90°+60°-15°=135°；

如图，当ST=OS时，α=180°；

综上所述，α的值为45°，90°，135°，180°．