Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，0），B（5，0），D（2，7），连接AD，交y轴于点C．

（1）点C的坐标为　 　；

（2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发，也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动），设从出发起运动了x秒．

①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标；

②当x＝2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标，若不存在，说明理由？

（3）在（2）的条件下，在点P、Q运动过程中，过点Q作x轴的平行线OF（点G、F分别位于y轴的左、右两侧），∠GQP与∠APQ的角平分线交于点M，则∠PMQ的大小会随点P、Q的运动而变化吗？如果不变化，请求出∠PMQ的度数：若发生变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，5）；（2）①P（5﹣x，0），Q（0，5+x）；②存在，点E的坐标为（0，18.2）或（0，﹣4.2）；（3）∠PMQ的度数不变，值为90°．

【解析】

（1）作DE⊥x轴，根据点的坐标求出AE、DE、AO，根据等腰直角三角形的性质解答即可；

（2）①根据题意、结合图形解答；

②分E在y轴的正半轴和E在y轴的负半轴两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．

（3）得出∠GQP+∠APQ＝180°，求出∠PQM+∠QPM＝90°，则∠PMQ的度数不变．

（1）作DE⊥x轴，

∵A（﹣5，0），D（2，7），

∴AE＝DE＝7，AO＝5，

∵△CAO，△DAE为直角三角形，

∴∠CAO＝45°，

∴△CAO是等腰直角三角形，

∴CO＝AO＝5，

∴C（0，5）；

故答案为：（0，5）．

（2）①∵动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，B（5，0），

∴P（5﹣x，0）．

∵动点Q从C点出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动，C（0，5），

∴Q（0，5+x）．

即P（5﹣x，0），Q（0，5+x）；

②存在．设E的坐标为（0，y），

当x＝2时，S△APQ＝（5+3）×7÷2＝28，

情况一：E在y轴的正半轴．

（y﹣7）×5÷2＝28．

∴y＝18.2．

∴E（0，18.2），

情况二：E在y轴的负半轴，

（7﹣y）×5÷2＝28，

∴y＝﹣4.2，

∴E（0，﹣4.2），

则点E的坐标为：（0，18.2）或（0，﹣4.2）．

（3）不变．

∵GF∥x轴，

∴∠GQP+∠APQ＝180°，

∵QM，PM分别平分∠GQP，∠APQ，

∴∠PQM＝∠GQP，∠QPM＝∠APQ．

∴∠PQM+∠QPM＝ ∠GQP+∠APQ＝（∠GQP+∠APQ）＝×180°＝90°，

∵∠PMQ+∠PQM+∠QPM＝180°，

∴∠PMQ＝180°﹣（∠PQM+∠QPM）＝180°﹣90°＝90°，

∴∠PMQ的度数不变．