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    4．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在y轴、x轴的正半轴上，且满足$\sqrt{OA-30}$+（OB-40）2=0，若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AO运动，同时点Q从B点出发，以每秒5个单位长度的速度沿线段BA运动，连接PQ，点P，Q的运动时间为t秒．
    （1）求直线AB的解析式；
    （2）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S=64？
    （3）点N在x轴上，在坐标平面上是否存在点M，使以点M，P，Q，N为顶点的四边形在某一时刻为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）先求出方程的根，得出A、B两点的坐标，然后根据待定系数法求得即可；
    （2）根据题意得出AP=2t，AQ=50-5t，作QM⊥OA于M，根据三角形相似等边成比例求得QM=$\frac{4}{5}$（50-t），根据三角形面积公式即可求得△APQ的面积S与t的函数关系，把S=64代入即可求得t的值；
    （3）分别作QG⊥OB，QH⊥OA，MK⊥y轴，ML⊥x轴，根据题意得四边形OGQH是正方形，NG=PH=MK=ML，根据三角函数得出$\frac{QG}{QB}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{30}{50}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{BG}{QB}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{5}$，即可求得QG=3t，BG=4t，得出3t=40-4t，求得t=$\frac{40}{7}$，求得AP，OP的值，即可求得PH的值，从而求得NG=PH=MK=ML=$\frac{50}{7}$，即可得出M点的坐标．

    解答 解：（1）$\sqrt{OA-30}$+（OB-40）2=0，
    ∴OA=30，OB=40，
    ∴A（0，30），B（40，0），
    设直线AB的解析式为y=kx+b，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{b=30}\\{40k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=30}\end{array}\right.$
    ∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+30；

    （2）由题意得，AP=2t，AQ=50-5t
    作QM⊥OA于M，如图1，
    ∴△ANQ∽△AOB，
    ∴$\frac{QM}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{QM}{40}$=$\frac{50-5t}{50}$，
    ∴QM=$\frac{4}{5}$（50-5t），
    ∴S=$\frac{1}{2}$AP•QM=$\frac{1}{2}$×2t•$\frac{4}{5}$（50-5t）=-4t2+40t；
    把S=64代入得，64=-4t2+40t，解得t=2或8，
    ∵0≤t≤15，
    故当t=2或8时，S=64；
    （3）如图2，分别作QG⊥OB，QH⊥OA，MK⊥y轴，ML⊥x轴，
    由四边形PQNM是正方形，则四边形OGQH是正方形，
    NG=PH=MK=ML，
    ∵QG⊥OB，
    ∴$\frac{QG}{QB}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{30}{50}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{BG}{QB}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{5}$
    ∵QB=5t，
    ∴QG=3t，BG=4t，
    ∴OG=40-4t，
    ∴3t=40-4t，
    ∴t=$\frac{40}{7}$，
    ∴AP=2t=$\frac{80}{7}$，QG=$\frac{120}{7}$，
    ∴OH=$\frac{120}{7}$，
    ∴PH=30-$\frac{80}{7}$-$\frac{120}{7}$=$\frac{10}{7}$，
    ∴NG=PH=MK=ML=$\frac{10}{7}$，
    ∴M（-$\frac{10}{7}$，$\frac{10}{7}$）．

    点评 本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定和性质，直角三角函数的应用，正方形的性质，三角形全等的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．

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