Question

13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为$\frac{1}{2}$×4×8=16，△PCQ的面积为$\frac{1}{2}$t（8-2t），由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC列方程求出t的值，但方程无解．

解答 解：（1）∵S_△PCQ=$\frac{1}{2}$t（8-2t），S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×8=16，
∴$\frac{1}{2}$t（8-2t）=16×$\frac{1}{4}$，
整理得t²-4t+4=0，
解得t=2．
答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的$\frac{1}{4}$；

（2）当S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC时，
$\frac{1}{2}$t（8-2t）=16×$\frac{1}{2}$，
整理得t²-4t+8=0，
△=（-4）²-4×1×8=-16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．

点评 本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．