Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，现将正方形OABC绕点O顺时针旋转．

（1）如图①，当点A的对应的A′落在直线y=x上时，点A′的对应坐标为________；点B的对应点B′的坐标为_________；

（2）旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N，当A点第一次落在直线y=x上时，停止旋转．

①如图2，在正方形OABC旋转过程中，线段AM，MN，NC三者满足什么样的数量关系？请说明理由；

②当AC∥MN时，求△MBN内切圆的半径（直接写出结果即可）

Answer 1

【答案】（1），；（2）①AM+CN=MN,理由见解析；②．

【解析】

（1）如图1中，作A′H⊥OB′于H．易知△OA′H是等腰直角三角形，点B′在x轴上，由此即可解决问题；

（2）①结论：AM+CN=MN；延长BA交y轴于E点，由△OAE≌△OCN（ASA），推出△OME≌△OMN（SAS），可得MN=ME=AM+AE，推出MN=AM+CN；

②利用①中结论，求出BM、BN、MN，根据△BMN的内切圆半径计算即可.

解：（1）如图1中，作A′H⊥OB′于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OC=BC=AB=2，∠BOC=45°=45，，

∵OA′=2，

∴，

∴，

∵旋转角为45°，

∴B′在x轴上，

∴，

故答案为，；

（2）①结论：AM+CN=MN；

理由：延长BA交y轴于E点，

则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，

∴∠AOE=∠CON，

又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN，

在△OAE和△OCN中，

，

∴△OAE≌△OCN（ASA），

∴OE=ON，AE=CN，

在△OME和△OMN中

，

∴△OME≌△OMN（SAS）．

∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

②∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM，

∴BM=BN，∵BA=BC，

∴AM=NC，

设AM=NC=a，则MN=2a，

在Rt△BMN中，（2a）2=（2﹣a）2+（2﹣a）2，

解得或（舍弃），

∴，，

∴△BMN的内切圆半径．