Question

【题目】已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（ ，﹣ ），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；
（2）求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；
（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=ax2﹣2ax+c的对称轴为：x=﹣ =1，

∴抛物线过（1，4）和（ ，﹣ ）两点，

代入解析式得： ，

解得：a=﹣1，c=3，

∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，

∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）

解：∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；

由三角形两边之差小于第三边可知：

|PC﹣PD|≤|CD|，

∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为，

|CD|= ，

由于CD所在的直线解析式为y=x+3，

将P（t，0）代入得t=﹣3，

∴此时对应的点P为（﹣3，0）

（3）

解：y=a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化为：

y=

设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：

线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x+2t，

∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数

y= 有一个公共点，此时t= ，

当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与

y= 有两个公共点，所以当 ≤t＜3时，

线段PQ与y= 有一个公共点，

②将y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3（x≥0）得：

﹣x2+2x+3=﹣2x+2t，

﹣x2+4x+3﹣2t=0，

令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，

t= ＞0，

所以当t= 时，线段PQ与y= 也有一个公共点，

③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ只与

y=﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=﹣3，

所以当t≤﹣3时，线段PQ与y= 也有一个公共点，

综上所述，t的取值是 ≤t＜3或t= 或t≤﹣3．

【解析】（1）先利用对称轴公式x=﹣ 计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；
　　　　（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；
　　　　（3）先把函数中的绝对值化去，可知y= ，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2﹣2a|x|+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2﹣2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤﹣3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．