Question

10．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
（3）该种材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间有多长？

Answer 1

分析 （1）分成0≤x≤5和x＞5两种情况，利用待定系数法即可求解；
（2）在当x＞5时的函数解析式中，求得y=15时对应的自变量x的取值即可；
（3）在两个函数解析式中求得y=40时对应的自变量的值，求差即可．

解答 解：（1）当0≤x≤5时，
设函数的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=15}\\{5k+b=60}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=15}\\{k=9}\end{array}\right.$
则函数的解析式是：y=9x+15；
$当x＞5时，y=\frac{300}{x}$；
（2）把y=15代入$y=\frac{300}{x}$，得$15=\frac{300}{x}$，x=20；
经检验：x=20是原方程的解．
则当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了20分钟；
（3）把y=40代入y=9x+15得x=$\frac{25}{9}$；把y=40代入$y=\frac{300}{x}$得x=7.5，
所以材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间为7.5-$\frac{25}{9}$=$\frac{85}{18}$分钟．

点评 本题考查了二次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．