Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．

（1）求证：AE=NE+ME；

（2）如图2，延长EM至点F，使EF=EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）CH=FH，详见解析；

【解析】

（1）过点N作NK⊥NE，交AE于点K，由“ASA”可证△ANK≌△MNE，可证AE=NE+ME；
（2）过点F作FP⊥BC，交BC的延长线于点P，利用正方形的性质AAS证明△ABE≌△EPF，即可解答；

（1）证明：过点N作NK⊥NE，交AE于点K．

∴∠KNE=90°．

∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°．

∴∠ANK=∠MNE．

∵ME⊥AE，∴∠AEM=∠ANM=90°．

∴∠NAK=∠NME．

∵四边形ABCD是正方形，∠ANM=90°．

∴∠MAN=∠NMA=45°．

∴AN=MN．

在△ANK和△MNE中，

∵

∴△ANK≌△MNE．

∴AK=ME，NK=NE．

∴ KE=NE．

∴ AE=AK+KE=ME+NE．

解：（2）CH=FH．

过点F作FP⊥BC，交BC的延长线于点P．

∴∠P=90°．

∵∠BAE+∠AEB=∠FEP+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠FEP．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠BCD=∠PCD= 90°，AB=BC．

∵FH⊥CD，∴∠FHC=90°．

∴∠P=∠PCH=∠CHF=90°．

∴四边形PCHF是矩形．

在△ABE和△EPF中，

∵

∴△ABE≌△EPF．

∴BE=PF，AB=EP．

∵AB=BC，

∴EP=BC．

∴CP=BE=PF．

∴矩形PCHF是正方形．

∴FH=CH．