分析 （1）首先根据题意得出C，B点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）分别利用第一种情况，当以C为直角顶点时，第二种情况，当点A为直角顶点时，得出P点坐标即可；
（3）根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，进而得出P点坐标即可．
解答 解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+x，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是：y=-x2+3x+4；
（2）存在．
第一种情况，如图1，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．
过点P1作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP1=∠OAC=45°，
∴∠MCP1=∠MP1C，
∴MC=MP1，
设P（m，-m2+3m+4），则m=-m2+3m+4-4，
解得：m1=0（舍去），m2=2．
∴-m2+3m+4=6，
即P（2，6）．
第二种情况，如图1，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，
过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P2N∥x轴，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP2N=45°，AO=OF．
∴P2N=NF，
设P2（n，-n2+3n+4），则n=（-n2+3n+4）+4，
解得：n1=-2，n2=4（舍去），
∴-n2+3n+4=-6，
则P2的坐标是（-2，-6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；
（3）如图2，连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
则AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴点P的纵坐标是2．
则-x2+3x+4=2，
解得：x=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$，
∴当EF最短时，圆最小．点P的坐标是：（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）．
点评 此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
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| 计分/分 | 94 | 96 | 93 | 91 | x | 92 | 91 | 98 | 96 | 93 |
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| A种品牌 | 50.1 | 49.9 | 50.2 | 49.8 | 50.0 |
| B种品牌 | 50.3 | 49.6 | 50.0 | 50.4 | 49.7 |
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