Question

3．如图，正方形ABCD中，过D作DE∥AC，∠ACE=30°，CE交AD于点F，求证：AC=EC．

Answer 1

分析 作EG⊥AC于G，DH⊥AC于H，证明四边形DEGH是平行四边形，得出EG=DH，由含30°角的直角三角形的性质得出EG=$\frac{1}{2}$EC，由正方形的性质得出△ADC是等腰直角三角形，证出DH=$\frac{1}{2}$AC，即可得出结论．

解答 证明：作EG⊥AC于G，DH⊥AC于H，如图所示：
则EG∥DH，
∵DE∥AC，
∴四边形DEGH是平行四边形，
∴EG=DH，
∵∠ACE=30°，
∴EG=$\frac{1}{2}$EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
即△ADC是等腰直角三角形，
∴AH=CH，
∴DH=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=EC．

点评 本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．