Question

8．如图，点A是⊙O上一动点，BC是⊙O的一条弦，且∠BAC=30°，点F、H分别是AB、AC的中点，直线FH与⊙O交于D、E两点．若DF+EH的最大值是12，则⊙O的半径是8．

Answer 1

分析 由点E、F分别是AB、AC的中点，根据三角形中位线定理得出FH=$\frac{1}{2}$BC，则DF+EH=DE-FH=GH-3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，DF+EH有最大值12．

解答 解：设该圆的半径是r．
当DE为⊙O的直径时，DF+EH有最大值．
当DE为直径时，H点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=2r．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=r．
∵点F、H分别是AB、AC的中点，
∴FH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$r，
∴DF+EH=DE-FH=2r-$\frac{1}{2}$r=12．
解得r=8．
故答案为：8．

点评 本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．