Question

16．已知直线l：y=kx；抛物线C：y=ax²+bx+1．
（Ⅰ）当k=1，b=1时，抛物线C的顶点在直线l上，求a的值；
（Ⅱ）若把直线l向上平移k²+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值．直线r与抛物线C都只有一个交点．
①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点．求证：OP=PQ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可用a表示出抛物线的顶点坐标，再代入直线方程可求得a的值；
（Ⅱ）①由于k为任意非零实数，可取k=1和k=2，再联立两解析式消去y得到的一元二次方程有两个相等的实数根可得到两个关于a、b的方程，可求得a、b的值，可求得抛物线解析式；
②设出P点坐标，连接OP，过P作PQ⊥直线y=2，作PD⊥x轴于点D，可分别表示出OP和PQ，可证明其相等．

解答 解：（Ⅰ）∵y=ax²+x+1=a（x+$\frac{1}{2a}$）²+1-$\frac{1}{4a}$，
∴抛物线顶点坐标为（-$\frac{1}{2a}$，1-$\frac{1}{4a}$），
∵抛物线顶点在直线y=x上，
∴-$\frac{1}{2a}$=1-$\frac{1}{4a}$，
解得a=-$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）①∵无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点，
∴k=1，k=2时，直线r与抛物线C都只有一个交点．
当k=1时，直线r的方程为y=x+2，代入抛物线C的解析式y=ax²+bx+1，可得ax²+（b-1）x-1=0，
∴△=（b-1）²+4a=0，
当k=2时，直线r的方程为y=2x+5，代入抛物线C的解析式y=ax²+bx+1，有ax²+（b-2）x-4=0，
∴△=（b-2）²+16a=0，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{（b-1）^{2}+4a=0}\\{（b-2）^{2}+16a=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{36}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
把r的直线方程y=kx+k²+1代入抛物线解析式y=ax²+bx+1，可得ax²+（b-k）x-k²=0，
∴△=（b-k）²+4ak²，
当$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=0}\end{array}\right.$时，△=（-k）²+4•（-$\frac{1}{4}$）k²=k²-k²=0，
故无论k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．
当$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{36}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$时，△=（$\frac{4}{3}$-k）²+4•（$\frac{1}{36}$）k²=$\frac{8}{9}$k²-$\frac{8}{3}$k+$\frac{16}{9}$，
显然随k值的变化，△不恒为0，不合题意舍去，
∴抛物线C的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+1；
②证明：根据题意，画出图象如图，

由点P在抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+1上，
∴设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x²+1），
连接OP，过P作PQ⊥直线y=2，作PD⊥x轴于点D，
∵PD=|-$\frac{1}{4}$x²+1|，OD=|x|，
∴OP=$\sqrt{P{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^{4}-\frac{1}{2}{x}^{2}+1+{x}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^{4}+\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{4}$x²+1，PQ=2-（-$\frac{1}{4}$x²+1）=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴OP=PQ．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、一元二次方程根的判别式、勾股定理等知识点．在（Ⅰ）中求得二次函数的顶点坐标是解题的关键，在（Ⅱ）①中取k的特殊值得到关于a、b的二元一次方程组求得a、b的值是解题的关键，在②中用P点的坐标分别表示出PD、OP的长是解题的关键．本题考查知识点较多，计算量较大，难度较大．