Question

3．在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，此时称为图形L（1），连接图形L（1）的各边中点，得图形J（1），再连接图形J（1）各边中点得图形L（2），在连接图形L（2）各边中点得图形J（2），以此类推…，则图形L（n）的边长与图形J（n）的宽的和是$\frac{3}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 连接BD，由菱形的性质得出AB=AD，证明△ABD是等边三角形，得出BD=AB=1，证明EH是△ABD的中位线，得出EH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$，得出AB+EH=$\frac{3}{2}$，同理：MN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，RT=$\frac{1}{4}$，得出MN+RT=$\frac{3}{{2}^{2}}$，…，得出规律：图形L（n）的边长与图形J（n）的宽的和=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{{2}^{n}}$．

解答 解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$，
∴AB+EH=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
同理：MN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，RT=$\frac{1}{4}$，
∴MN+RT=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{{2}^{2}}$，…，
图形L（n）的边长与图形J（n）的宽的和=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{{2}^{n}}$；
故答案为：$\frac{3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出规律是解决问题的关键．