Question

如图，等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边△ABD使点C、D在AB的同侧，再以CD为一边作等边△CDE，使点C、E在AD的异侧，若AE=1，求CD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：延长DC交AB于点F，先证明△ACD≌△BCD，在由条件证明△ACD≌△AED就可以得出AC=AE=1，由勾股定理求出AB的值，就可以求出CF和DF的值，从而得出结论．

解答：解：延长DC交AB于点F，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∵△ADB是等边三角形，
∴AD=AB=BD，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，
∴∠DAC=∠DBC=15°．
在△ACD和△BCD中，

AD=BD ∠DAC=∠DBC AC=BC

，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠ADC=∠BDC=30°．
∴DF⊥AB，
∴CF=

1

2

AB．
∵△EDC是等边三角形，
∴ED=CD，∠EDC=60°．
∴∠ACD=∠ADE=30°．
在△ACD和△AED中，

CD=ED ∠ACD=∠ADE AD=AD

∴△ACD≌△AED（SAS），
∴AE=AC=1．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=

2

，
∴CF=AF=

2

2

，
在Rt△AFD中，由勾股定理，得
DF=

6

2

，
∴CD=

6 - 2

2

．
答：CD的长为

6 - 2

2

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．