Question

已知，关于x的方程x2-(k+1)x+

1

4

k2+1=0有两实数根x₁，x₂，根据下列条件，分别求出k的值：（1）x₁x₂=5；（2）|x₁|=x₂．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：先根据判别式的意义得到△=（k+1）²-4（

1

4

k²+1）≥0，解得k≥

3

2

，再根据根与系数的关系得x₁+x₂=k+1，x₁x₂=

1

4

k²+1，
（1）根据条件得到

1

4

k²+1=5，解得k=±4，然后根据（1）中k的取值范围确定k的值；
（2）把已知等式两边平方可得到（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，则x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，所以k+1=0或△=0，再分别求出k，然后根据（1）中k的取值范围确定k的值．

解答：解：根据题意得△=（k+1）²-4（

1

4

k²+1）≥0，解得k≥

3

2

，
x₁+x₂=k+1，x₁x₂=

1

4

k²+1，
（1）∵x₁x₂=5，
∴

1

4

k²+1=5，解得k=±4，
∵k≥

3

2

，
∴k的值为4；
（2）∵|x₁|=x₂，
∴x₁²=x₂²，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
∴x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，
∴k+1=0或△=0，
∴k=-1或k=

3

2

，
∴k的值为

3

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判别式．