Question

4．如图，已知直线m∥n，A，D两点在直线m上，B，C两点在直线n上，且AB∥CD，E，F分别是AD，BC的中点，BG⊥AC，DH⊥AC，点G，H分别是垂足．求证：EF与GH互相平分．

Answer 1

分析 由直线m∥n，A，D两点在直线m上，B，C两点在直线n上，得到AD∥BC，由于AB∥CD，推出四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AD=BC，推出AE=CF，根据BG⊥AC，DH⊥AC，得到∠AHD=∠CGB=90°，根据直角三角形的性质得到EH=GF，证得△ADH≌△CBG，得到AH=CG，作出AG=CH，然后由△AEG≌△CFH，得到EG=FH，证得四边形EGFH是平行四边形，即可得到结论．

解答 证明：∵直线m∥n，A，D两点在直线m上，B，C两点在直线n上，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=CF，
∵BG⊥AC，DH⊥AC，
∴∠AHD=∠CGB=90°，
∴HE=$\frac{1}{2}$AD，GF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EH=GF，
在△ADH与△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAH=∠BCG}\\{∠AHD=∠CGB}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴AH=CG，
∴AG=CH，
在△AEG与△CFH中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAG=∠FCH}\\{AG=CH}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CFH，
∴EG=FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．