Question

【题目】（1）如图 1，已知正方形 ABCD，点 E 在 BC 上，点 F 在 DC 上，且∠EAF=45°，则有 BE+DF= .若 AB=4，则△CEF 的周长为 .

（2）如图 2，四边形 ABCD 中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且∠EAF=45°，试判断 BE，EF，DF 之间的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）EF，8；（2）EF=BE+DF.

【解析】

（1）延长EB至H，使BH=DF，连接AH，证△ADF≌△ABH，△FAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EF=HE=BE+HB进而求出即可；

（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案．

（1）延长EB至H，使BH=DF，连接AH，如图1，

∵在正方形ABCD中，

∴∠ADF=∠ABH，AD=AB，

在△ADF和△ABH中，

∵，

∴△ADF≌△ABH（SAS），

∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，

∴∠FAH=90°，

∴∠EAF=∠EAH=45°，

在△FAE和△HAE中，

∵，

∴△FAE≌△HAE（SAS），

∴EF=HE=BE+HB，

∴EF=BE+DF，

∴△CEF的周长=EF+CE+CF=BE+CE+DF+CF=BC+CD=2AB=8．

（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，如图2，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠D=∠ABM，

在△ABM和△ADF中，

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，

∵∠BAD=∠C=90°，∠EAF=45°，

即∠BAD=2∠EAF，

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中，

，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，

即EF=BE+DF．