Question

13．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am²+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，x₁+x₂=2．其中正确的有②③⑤．

Answer 1

分析 根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到-$\frac{b}{2a}$=1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b=-2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x=1时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（-1，0）之间，则x=-1时，y＜0，于是可对④进行判断；由ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂得到ax₁²+bx₁+cax₂²+bx₂+c，则可判断x=x₁和x=x₂所对应的函数值相等，则x₂-1=1-x₁，于是可对⑤进行判断．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，即b=-2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b=-2a，
∴2a+b=0，所以②正确；
∵x=1时，函数值最大，
∴a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm（m≠1），所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点到对称轴x=1的距离大于1，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（-1，0）之间，
∴x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以④错误；
当ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，则ax₁²+bx₁+cax₂²+bx₂+c，
∴x=x₁和x=x₂所对应的函数值相等，
∴x₂-1=1-x₁，
∴x₁+x₂=2，所以⑤正确；
故答案为②③⑤．

点评 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．