Question

4．已知直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$与反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象相交于点A、B，OA⊥AB．   
（1）OA=$\sqrt{5}$；
（2）求m的值；
（3）现知B点横坐标为整数，请直接写出B点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式求得D、C的交点坐标，从而求得OD、OC、CD的出，然后通过证得△AOC∽△DOC，即可求得OA的长．
（2）作AE⊥x轴，先证得△OAC∽△AEO，求得AE，进而根据勾股定理求得OE，得出A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求得m的值．
（3）设B（a，b），由A（1，2），D（5，0）可知1＜a＜5，0＜b＜2，因为a为整数，所以a的取值为2、3、4，根据ab=m=2即可求得b的值，把三组值分别代入直线的解析式即可判定B的坐标．

解答 解：（1）由直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$可知：D（5，0），C（0，$\frac{5}{2}$），
∴OD=5，OC=$\frac{5}{2}$，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∵OA⊥AB，
∴∠OAC=∠DOC=90°，
∵∠ACO=∠OCD，
∴△AOC∽△DOC，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OC}{CD}$，即$\frac{OA}{5}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}$，
∴OA=$\sqrt{5}$．
故答案为$\sqrt{5}$．
（2）作AE⊥x轴，
∴AE∥OC，
∴∠AOC=∠OAE，
∵∠OAC=∠AEO=90°，
∴△OAC∽△AEO，
∴$\frac{AE}{OA}$=$\frac{OA}{OC}$，即$\frac{AE}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{5}{2}}$，
∴AE=2，
∴OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=1，
∴A（1，2），
∴m=1×2=2．
（3）∵A（1，2），D（5，0），
设B（m，n），则1＜m＜5，0＜n＜2，
∴B的坐标可能是（2，1），（3，$\frac{2}{3}$），（4，$\frac{1}{2}$），
代入y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$可知，B为（4，$\frac{1}{2}$）适合；
∴B的坐标为（4，$\frac{1}{2}$）．

点评 此题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题以及函数图象上点的坐标特征，关键是利三角形相似计算出A点坐标．