Question

【题目】如图，已知是的直径，弦于点，过的延长线上一点作的切线交的延长线于点，切点为点，连接交于点．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）若，求证：；

（3）在（2）的条件下，若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE，即可得到结果；
（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KDGE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；
（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．

解：（1）证明：如图1，连接，

为的切线，

，

，

，

又，

，

，

，

∴△EKG是等腰三角形；

（2）证明：如图2，连接，

，

，

又，

，

，

又，

，

；

（3）解：如图3，连接，，

由，可设，，则，

，，

，

，

在中，根据勾股定理得，

即，

解得或（不合题意，舍去），

，，

设的半径为，在中，，，，

由勾股定理得，

即，

解得，

为的切线，

为直角三角形，

在中，，

，

．