Question

【题目】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．

（1）如图1，当点D在边BC上时，且∠BAD＝30°，求证：AD＝BD．

（2）如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC﹣∠ADC＝45°，求证：BD＝AD．

（3）如图3，若AB＝4，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°），直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出△PAC面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD＝AD，见解析；（3）2+2

【解析】

（1）如图1，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE，由折叠的性质可得AE＝AD，BE＝BD，∠EBD＝∠ABD＝45°，∠BAD＝∠BAE＝30°，可得∠DBE＝90°，∠DAE＝60°，由等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质可得结论；

（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE，由“SAS”可证△BAE≌△CAD，可得∠ACD＝∠ABE，由“ASA”可证△DOB≌△DOE，可得DB＝DE，由等腰直角三角形的性质可得结论；

（3）作PG⊥AC，交AC所在直线于点G，求出PG的最大值，即可求解．

（1）证明：如图1，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝45°，

∵将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，

∴△ABD≌△ABE，

∴AE＝AD，BE＝BD，∠EBD＝∠ABD＝45°，∠BAD＝∠BAE＝30°，

∴∠DBE＝90°，∠DAE＝60°，且AD＝AE，BE＝BD，

∴△ADE是等边三角形，DE＝BD，

∴AD＝DE＝BD；

（2）证明：如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE，

∵AE⊥AD，

∴∠DAE＝∠BAC＝90°，

∴∠BAE＝∠DAC，且AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAE≌△CAD（SAS）

∴∠ACD＝∠ABE，

∵∠ACD+∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠DCB+∠ABC+∠ABE＝90°，

∴∠BOC＝90°，

∵AE＝AD，AE⊥AD，

∴DE＝AD，∠ADE＝45°，

∵∠BDC﹣∠ADC＝45°，

∴∠BDC＝∠ADC+45°＝∠EDC，且DO＝DO，∠DOB＝∠DOE＝90°，

∴△DOB≌△DOE（ASA）

∴BD＝DE，

∴BD＝AD；

（3）如图3，作PG⊥AC，交AC所在直线于点G，

∵D，E在以A为圆心，AD为半径的圆上，

当CE所在直线与⊙A相切时，直线BD与CE的交点P到直线AC的距离最大，

此时四边形ADPE是正方形，AD＝PD＝2，

则CE＝＝2，

∴∠ACP＝30°，

∴PC＝2+2，

∴点P到AC所在直线的距离的最大值为：PG＝1+．

∴△PAC的面积最大值为AC×PG＝2+2．