Question

【题目】定义：点A与⊙O上所有点的连线段中，长度的最小值称为点A到⊙O的最小距离，记为mA；点A与⊙O上所有点的连线段中，长度的最大值称为点A到⊙O的最大距离，记为MA，如图，⊙O的半径为r，点A在⊙O外，且OA＝d，则mA＝d﹣r．证明如下：

证明：如图1，设B为圆上任意一点，连结OA、OB、AB

①当O、A、B不共线时，AB＞OA﹣OB

即AB＞d﹣r

②当O、A、B共线时，AB＝OA﹣OB

即AB＝d﹣r

综上，AB≥d﹣r，即mA＝d﹣r

（1）利用刚才的证明，结合所给的图2，⊙O的半径为r，点A在⊙O外，且OA＝d，探究MA，你的结论是MA＝　 　，请证明你的结论；

（2）已知⊙O的半径为2，mA＝4，则MA＝　 　；

（3）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，6为半径作⊙O，第二象限的点A的坐标为（﹣3，a），且mA＝1，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）d+r；（2）8；（3）a＝4或 ．

【解析】

（1）由三角形的三边关系可得结论；

（2）由mA＝4＝dr，MA＝d＋r，可求解；

（3）分点A在圆内和圆外两种情况讨论，由勾股定理可求解．

（1）结论是MA＝d+r；

如图2，

①当O、A、B不共线时，AB＜OA+OB

即AB＜d+r

②当点O在线段AB上时，AB＝OA+OB

即AB＝d+r

综上，AB≤d+r，即MA＝d+r；

故答案为：d+r；

（2）∵mA＝4＝d﹣r，且r＝2，

∴d＝6，

∴MA＝d+r＝6+2＝8，

故答案为：8；

（3）如图3，若点A在圆O内，过点A作AE⊥x轴，延长OA交圆O于点B，

∵点A的坐标为（﹣3，a），

∴EO＝3，AE＝a，

∴AO＝，

∵mA＝1，

∴6﹣AO＝1，

∴＝5，且a＞0，

∴a＝4；

若点A'在在圆O外，过点A'作A'E⊥x轴，连接OA'交圆O于点B'，

∴AO＝＝，

∵mA＝1，

∴AO﹣6＝1，

∴＝7，且a＞0，

∴a＝，

综上所述：a＝4或．