Question

【题目】如图，四边形是平行四边形，是等边三角形，连接，，垂足为.

（1）如图1，若，求的度数；

（2）如图2，点是的中点，，垂足为，求证：.

Answer 1

【答案】(1)30°；(2)证明见详解.

【解析】

(1)由四边形是平行四边形，是等边三角形，得∠BAE=60°，∠BAD+∠ADC=180°，从而得∠DAE+∠ADE+∠CDF=120°，结合，，即可求解；

(2)连接CE，在线段BG上截取BM=GC，易证CFECFD(SAS)，得CD=CE，∠DCF=∠ECF，再证MBEGCE(SAS)，得ME=GE，由∠ABE=60°，∠ABC+∠BCD=180°，得∠MBE+∠GCE+∠DCF+∠ECF=120°，从而得∠FCB=60°，易证CF∥GE，得∠EGM=∠FCB=60°，EMG是等边三角形，进而得GE=GM，即可得到结论.

（1）∵四边形是平行四边形，是等边三角形，

∴∠BAE=60°，∠BAD+∠ADC=180°，

∴∠DAE+∠ADE+∠CDF=180°-∠BAE=180°-60°=120°，

∵，

∴∠DCF+∠ADE+∠CDF=120°，

∵，

∴∠DCF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=120°-(∠DCF+∠CDF)= 120°-90°=30°；

（2）连接CE，在线段BG上截取BM=GC，

∵，点是的中点，

∴∠CFE=∠CFD=90°，EF=DF，

∵CF=CF，

∴CFECFD(SAS)，

∴CD=CE，∠DCF=∠ECF，

∵四边形是平行四边形，是等边三角形，

∴CD=AB=BE，

∴CE=BE，

∴∠MBE=∠GCE，

在MBE和GCE中，

∵，

∴ MBEGCE(SAS)，

∴ME=GE，

∵∠ABE=60°，∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠MBE+∠BCD=180°-∠ABE=180°-60°=120°，

即：∠MBE+∠GCE+∠DCF+∠ECF=120°，

∴∠GCE+∠ECF=×120°=60°，即：∠FCB=60°，

∵，

∴CF∥GE，

∴∠EGM=∠FCB=60°，

∴EMG是等边三角形，

∴GE=GM，

∴BG=GM+BM=GC+GE，即：.