Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC和 ∠BAC的平分线交于点E，延长AE分别交BC， ⊙O于点F， D，连接BD.

(1)求证: BD=DE.

(2)若BD=6，AD=10，求EF的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2.4.

【解析】

（1）根据角平分线的定义以及圆周角定理得到∠DBC＝∠CAD，然后求出∠BED＝∠BAD＋∠1，∠DBE＝∠DBC＋∠2，得到∠BED＝∠DBE即可；
（2）根据∠DBC＝∠CAD＝∠BAD，∠D＝∠D，证得△DBF∽△DAB，利用相似三角形的性质列出比例式求出DF即可解决问题．

解：（1）∵AD 平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴=，

∴∠DBC＝∠CAD，

∵BE 平分∠ABC，

∴∠1＝∠2，

∵∠BED＝∠BAD＋∠1，∠DBE＝∠DBC＋∠2，

∴∠BED＝∠DBE，

∴DB＝DE；

（2）由（1）得∠DBC＝∠CAD＝∠BAD，

∵∠D＝∠D，

∴△DBF∽△DAB，

∴，

∵BD=6，AD=10，

∴，

∴DF=3.6，

∵DE=BD=6，

∴EF=DE-DF=6-3.6=2.4.