Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得＝，联结CE．

求证：（1）∠ECD＝2∠BAM；

（2）BF是DF和EF的比例中项．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

（1）由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BAM，通过证明△ADB∽△CDE，可得∠BAC＝∠ECD＝2∠BAM；

（2）由等腰三角形的性质可得BF＝CF，通过证明△DCF∽△CEF，可得，可得结论．

证明：（1）∵AB＝AC，AM为BC边的中线，

∴∠BAC＝2∠BAM，

∵＝，∠ADB＝∠CDE，

∴△ADB∽△CDE，

∴∠BAC＝∠ECD，

∴∠ECD＝2∠BAM；

（2）如图，连接CF，

∵AB＝AC，AM为BC边的中线，

∴AM是BC的垂直平分线，

∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，

∵△ABF≌△ACF（SSS）

∴∠ABF＝∠ACF，

由（1）可知：△ADB∽△CDE，

∴∠ABF＝∠E，

∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，

∴△DCF∽△CEF，

∴，且BF＝CF，

∴BF2＝DFEF，

∴BF是DF和EF的比例中项．