Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB＝16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB＝，点E、F分别是线段AD、AC上的动点，（点E不与点A，D重合），且∠CEF＝∠ACB．

（1）求AC的长和点D的坐标；

（2）求证：；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）AC=20，D（12，0）；（2）见解析；（3）（8，0）或(，0)．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用三角函数和勾股定理即可求出BC、AC的长度，从而得到A点坐标，由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标；

（2）欲证，只需证明△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可．在△AEF与△DCE中，易知∠CAO＝∠CDE，再利用三角形的外角性质证得∠AEF＝∠DCE，问题即得解决；

（3）当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：

①当CE＝EF时，此时△AEF与△DCE相似比为1，则有AE＝CD，即可求出E点坐标；

②当EF＝FC时，利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识易求得CE，再利用（2）题的结论即可求出AE的长，进而可求出E点坐标；

③当CE＝CF时，可得E点与D点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在．

解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°，∵AB＝16，tan∠ACB＝，

∴，解得：BC＝12=AO，

∴AC＝20，A点坐标为（﹣12，0），

∵点D与点A关于y轴对称，∴D（12，0）；

（2）∵点D与点A关于y轴对称，∴∠CAO＝∠CDE，

∵∠CEF＝∠ACB，∠ACB＝∠CAO，∴∠CDE＝∠CEF，

又∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠CDE+∠DCE，

∴∠AEF＝∠DCE，∴△AEF∽△DCE．

∴；

（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：

①当CE＝EF时，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE，

∴AE＝CD＝20，∴OE＝AE﹣OA＝20﹣12＝8，∴E（8，0）；

②当EF＝FC时，如图1所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，

∴CE＝2ME＝2EFcos∠CEF＝2EFcos∠ACB＝．

∵△AEF∽△DCE，

∴，即：，解得：AE＝，

∴OE＝AE﹣OA＝，∴E(，0)．

③当CE＝CF时，则有∠CFE＝∠CEF，

∵∠CEF＝∠ACB＝∠CAO，

∴∠CFE＝∠CAO，即此时F点与A点重合，E点与D点重合，这与已知条件矛盾．

所以此种情况的点E不存在，综上，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标是（8，0）或(，0)．