Question

11．已知直角坐标系中，有等腰△ABC，其中两个顶点的坐标分别为A（1，0），B（4，4），第三个顶点C在坐标轴上，试画出C点的不同位置，并求出C点的坐标．

Answer 1

分析 由A（1，0），B（4，4），得到AB=$\sqrt{（4-1）^{2}+{4}^{2}}$=5，①当AB为腰时，以A为圆心AB的长为半径画圆，交坐标轴于E，H，J得到AE=AH=AJ=AB=5，根据勾股定理得到OH=$\sqrt{A{H}^{2}+O{A}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，以B为圆心AB的长为半径画圆交坐标轴于A，F，G，I，于是得到BF=BG=BI=AB=5，设I（0，y），由两点间的距离公式求得y=1，得到I（0，1），F（7，0），G（0，7），②当AB为底时，AB的垂直平分线交x轴于D，交y轴于C，设C（0，n），D（m，0），于是得到CA=CB，AD=BD，根据两点间的距离公式求得C（0，$\frac{31}{8}$），D（$\frac{31}{6}$，0），于是结论即可求出．

解答 解：∵A（1，0），B（4，4），
∴AB=$\sqrt{（4-1）^{2}+{4}^{2}}$=5，
①当AB为腰时，
以A为圆心AB的长为半径画圆，交坐标轴于E，H，J
∴AE=AH=AJ=AB=5，
∴OH=$\sqrt{A{H}^{2}+O{A}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴E（6，0），H（0，2$\sqrt{6}$），J（-4，0），
以B为圆心AB的长为半径画圆交坐标轴于A，F，G，I，
∴BF=BG=BI=AB=5，设I（0，y），∴（4-y）²+4²=5²，∴y=1，
∴I（0，1），F（7，0），G（0，7），
②当AB为底时，AB的垂直平分线交x轴于D，交y轴于C，
设C（0，n），D（m，0），
∴CA=CB，AD=BD，
∴1²+n²=4²+（4-n）²，（m-1）²=4²+（m-4）²，
∴n=$\frac{31}{8}$，m=$\frac{31}{6}$，∴C（0，$\frac{31}{8}$），D（$\frac{31}{6}$，0），
综上所述：符合条件的点有8个，分别为：C，D，E，F，G，H，I，J，
坐标为：C（0，$\frac{31}{8}$），D（$\frac{31}{6}$，0），E（6，0），H（0，2$\sqrt{6}$），J（-4，0），I（0，1），F（7，0），G（0，7）．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，线段的垂直平分线的性质，特别是分类讨论思想的应用，不要漏解．