Question

已知：如图①，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连接CE．

（1）求证：CE=CA；
（2）在上述条件下，延长AD、EC交于点G，若将AE沿AF翻折，点E与点G刚好重合，如图②．且GC：CE=3：5，AE=2

10

，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）先由四边形ABCD是等腰梯形得出CA=DB，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DBEC是平行四边形，得出CE=DB，从而得到CE=CA；
（2）先由轴对称的性质得出AF⊥EG，AG=AE，EF=

1

2

EG．过C点作AE的垂线，垂足为H．根据平行线分线段成比例定理，得出BE：AB=GD：DA=GC：CE=3：5，且AD=AB，由AE=2

10

，得到AB=

5

4

10

，DC=BE=

3

4

10

，再由四边形ABCD是等腰梯形，得出BH=

1

2

（AB-CD）=

1

4

10

，在直角三角形BCH中，运用勾股定理求出CH=

15

，则EH=BE+BH=

10

，在直角三角形CEH中，运用勾股定理求出CE=5，则EF=

1

2

EG=4，最后在Rt△AEF中，运用勾股定理求出AF=2

6

．

解答：（1）证明：如图①．
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴CA=DB．
∵CD=BE且CD∥BE，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE=DB，
∴CE=CA；

（2）解：如图②．
∵将AE沿AF翻折，点E与点G刚好重合，
∴△AFG≌△AFE，AF⊥EG，
∴AG=AE，EF=

1

2

EG．
过C点作AE的垂线，垂足为H．
∵DC∥AE，
∴GD：DA=GC：CE=3：5，
∵四边形DBEC是平行四边形，
∴BD∥CE，
∴BE：AB=GD：DA=3：5，且AD=AB，
又∵AE=2

10

，
∴AB=

5

4

10

，DC=BE=

3

4

10

．
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BH=

1

2

（AB-CD）=

1

4

10

，BC=AD=AB=

5

4

10

．
∴在直角三角形BCH中，CH=

BC2-BH2

=

15

．
∵EH=BE+BH=

3

4

10

+

1

4

10

=

10

，
∴在直角三角形CEH中，CE=

CH2+EH2

=5，
∴CG=3，EG=CE+CG=8，EF=

1

2

EG=4．
在Rt△AEF中，∵∠AFE=90°，
∴AF=

AE2-EF2

=

(2 10 )2-42

=2

6

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．