【题目】图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图,其中为桌面(台灯底座的厚度忽略不计),台灯支架
与灯管
的长度都为
,且夹角为
(即
),若保持该夹角不变,当支架
绕点
顺时针旋转
时,支架与灯管落在
位置(如图2所示),则灯管末梢
的高度会降低_______
.
【答案】15
【解析】
如图1中,作BD⊥OC于点D,作AE⊥BD于点E,利用矩形的性质和解直角三角形的知识求出BD的长,如图2中,作B1F⊥OC于点F,作A1H⊥OC于点H,作A1G⊥B1F于点G,利用解直角三角形的知识求出B1F的长度,然后用BD-B1F即得答案.
解:如图1中,作BD⊥OC于点D,作AE⊥BD于点E,
则四边形AODE是矩形,∴DE=AO=30cm,
∵∠BAO=,∴∠BAE=60°,
则在Rt△ABE中,cm;
∴cm;
如图2中,作B1F⊥OC于点F,作A1H⊥OC于点H,作A1G⊥B1F于点G,
则四边形A1HFG是矩形,∴A1H=GF,
∵∠AOA1=30°,OA1=30cm,∴∠A1OH=60°,
∴cm,
∵∠B1A1O=,∴∠B1A1G=150°-90°-30°=30°,
则在Rt△A1B1G中,cm,
∴;
∴BD-B1F=cm.
即灯管末梢的高度降低了15cm.
故答案为15.
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【题目】(9分)在如图的方格中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)、A(﹣2,﹣1)、B(﹣1,﹣3),△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点的坐标及△O1A1B1与△OAB的相似比;
(2)以原点O为位似中心,在y轴的左侧画出△OAB的一个位似△OA2B2,使它与△OAB的位似比为2:1,并写出点B的对应点B2的坐标;
(3)在(2)条件下,若点M(a,b)是△OAB边上一点(不与顶点重合),写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标.
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【题目】对某一个函数给出如下定义:对于函数y,若当,函数值y满足
,且满足
,则称此函数为“k属和合函数”
例如:正比例函数,当
时,
,则
,求得:
,所以函数
为“3属和合函数”.
(1)①一次函数为“k属和合函数”,则k的值为______,
②若一次函数为“1属和合函数”,求a的值;
(2)反比例函数(
,
且
)是“k属和合函数”,且
,请求出
的值;
(3)已知二次函数,当
时,y是“k属和合函数”,求k的取值范围.
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【题目】一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同,小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x,小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y,这样确定了点P的坐标(x,y).
(1)小红摸出标有数3的小球的概率是多少?.
(2)请你用列表法或画树状图法表示出由x,y确定的点P(x,y)所有可能的结果.
(3)求点P(x,y)在函数y=﹣x+5图象上的概率.
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【题目】今年疫情防控期间.某小区卫生所决定购买A,B两种口罩.以满足小区居民的需要.若购买A种口罩9包,B种口罩4包,则需要700元;若购买A种口罩3包.B种口罩5包.则需要380元.
(1)购买人A,B两种口罩每包各需名少元?
(2)卫生所准备购进这两种口罩共90包,并且A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,点与
称为一对泛对称点.
(1)若点,
是一对泛对称点,求
的值;
(2)若,
是第一象限的一对泛对称点,过点
作
轴于点
,过点
作
轴于点
,线段
,
交于点
,连接
,
,判断直线
与
的位置关系,并说明理由;
(3)抛物线交
轴于点
,过点
作
轴的平行线交此抛物线于点
(不与点
重合),过点
的直线
与此抛物线交于另一点
.对于任意满足条件的实数
,是否都存在
,
是一对泛对称点的情形?若是,请说明理由,并对所有的泛对称点
,
探究当
>
时
的取值范围;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx经过点A(2,0).直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式和顶点的坐标;
(2)将抛物线y=x2+bx向右平移,使平移后的抛物线经过点B,求平移后抛物线的表达式;
(3)将抛物线y=x2+bx向下平移,使平移后的抛物线交y轴于点D,交线段BC于点P、Q,(点P在点Q右侧),平移后抛物线的顶点为M,如果DP∥x轴,求∠MCP的正弦值.
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【题目】已知边长为1的正方形ABCD中, P是对角线AC上的一个动点(与点A、C不重合),过点P作PE⊥PB ,PE交射线DC于点E,过点E作EF⊥AC,垂足为点F.
(1)当点E落在线段CD上时(如图),
①求证:PB=PE;
②在点P的运动过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由;
(2)当点E落在线段DC的延长线上时,在备用图上画出符合要求的大致图形,并判断上述(1)中的结论是否仍然成立(只需写出结论,不需要证明);
(3)在点P的运动过程中,△PEC能否为等腰三角形?如果能,试求出AP的长,如果不能,试说明理由.
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【题目】小明在学了尺规作图后,通过“三弧法”作了一个△ACD,其作法步骤是:①作线段AB,分别以A,B为圆心,AB长为半径画弧,两弧的交点为C;②以B为圆心,AB长为半径画弧交AB的延长线于点D;③连结AC,BC,CD.下列说法不正确的是( )
A.∠A=60°B.△ACD是直角三角形
C.BC=CDD.点B是△ACD的外心
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