Question

【题目】在平面直角坐标系中，点与称为一对泛对称点．

（1）若点，是一对泛对称点，求的值；

（2）若，是第一象限的一对泛对称点，过点作轴于点，过点作轴于点，线段，交于点，连接，，判断直线与的位置关系，并说明理由；

（3）抛物线交轴于点，过点作轴的平行线交此抛物线于点（不与点重合），过点的直线与此抛物线交于另一点．对于任意满足条件的实数，是否都存在，是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点，探究当＞时的取值范围；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AB∥PQ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(xM，yM)，N(xN，yN)，当yM＞yN时，xM的取值范围是xM＜1且xM≠0

【解析】

（1）利用泛对称点得定义求出t的值，即可求出a.

（2）设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），根据题干条件得到A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）的坐标，利用二元一次方程组证出k1=k2，所以AB∥PQ.

（3）由二次函数与x轴交点的特征，得到D点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.

（1）解：因为点（1，2），（3，a）是一对泛对称点，

设3t＝2

解得t＝

所以a＝t×1＝

（2）解：设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0.

因为PA⊥x轴于点A，QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，

所以点A，B，C的坐标分别为：A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）

设直线AB，PQ的解析式分别为：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，其中k1k2≠0.

分别将点A（p,0），B（0,tp）代入y＝k1x＋b1，得

. 解得

分别将点P（p,tq），Q（q,tp）代入y＝k2x＋b2，得

. 解得

所以k1＝k2.

所以AB∥PQ

（3）解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y轴于点D，

所以点D的坐标为（0,c）.

因为DM∥x轴，

所以点M的坐标为（xM,c），又因为点M在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.

可得axM 2＋bxM＋c＝c，即xM（axM＋b）＝0.

解得xM＝0或xM＝－.

因为点M不与点D重合，即xM≠0，也即b≠0，

所以点M的坐标为（－,c）

因为直线y＝ax＋m经过点M，

将点M（－,c）代入直线y＝ax＋m可得，a·（－）＋m＝c.

化简得m＝b＋c

所以直线解析式为：y＝ax＋b＋c.

因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋b＋c交于另一点N，

由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.

因为△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，

解得x1＝－，x2＝1.

即xM＝－，xN＝1，且－≠1，也即a＋b≠0.

所以点N的坐标为（1,a＋b＋c）

要使M（－,c）与N（1,a＋b＋c）是一对泛对称点，

则需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－）.

也即a＋b＋c＝（－）·c

也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.

因为a＋b≠0，

所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.

因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.

此时点M的坐标为（－,－a），点N的坐标为（1,b）.

所以M，N两点都在函数y＝（b≠0）的图象上.

因为a＜0，

所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当yM＞yN时，0＜xM＜1；

当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足yM＞yN，此时xM＜0.

综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（xM,yM），N（xN,yN），当yM＞yN时，xM的取值范围是xM＜1且/span>xM≠0.