Question

【题目】对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k属和合函数”

例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“3属和合函数”.

（1）①一次函数为“k属和合函数”，则k的值为______，

②若一次函数为“1属和合函数”，求a的值；

（2）反比例函数（，且）是“k属和合函数”，且，请求出的值；

（3）已知二次函数，当时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①2；②；（2）2018；（3）若a＞1时，；若0＜a≤1时，；若﹣1＜a≤0时，；若a＜﹣1时，.

【解析】

（1）①根据“k属和合函数”的定义即可求出k的值；

②根据a的取值范围分类讨论，然后再根据“1属和合函数”的定义分别求a的值即可；

（2）根据反比例函数的增减性，求出y的取值范围，然后根据“k属和合函数”的定义即可求出ab的值，然后利用完全平方公式的变形即可求出的值；

（3）根据对称轴与x的取值范围的相对位置分类讨论：（i）若a＞1时，即在对称轴左侧，根据二次函数的增减性求出y的取值范围，然后根据“k属和合函数”的定义即可求出k与a的关系，根据a的取值求出k的取值即可；（ii）若0＜a≤1时，即含对称轴，且x=﹣1离对称轴最远，原理同上；（iii）若﹣1＜a≤0时，即含对称轴，且x=1离对称轴最远，原理同上；（iiii）若a＜﹣1时，即在对称轴右侧，原理同上.

解：（1）①∵一次函数当时，

根据“k属和合函数”的定义：，

解得：k=2；

②当a＞0时，

∵当时，，

根据“1属和合函数”的定义：，

解得：；

当a＜0时，

∵当时，，

根据“1属和合函数”的定义：，

解得：，

综上所述：；

（2）∵（，且），

∴当时，y随x的增大而减小，

∴，

根据“k属和合函数”的定义：，

解得：，

∵，

∴；

（3）二次函数的对称轴为：，

（i）若a＞1时，即在对称轴左侧，如下图所示：

不难发现，当x=1时，y最大值为：，

当x=﹣1时，y最小值为：，

根据“k属和合函数”的定义：，

解得：，

∵a＞1，

∴；

（ii）若0＜a≤1时，即含对称轴，且x=﹣1离对称轴最远，如下图所示：

不难发现：当x=a时，y最大值为：，

当x=﹣1时，y最小值为：，

根据“k属和合函数”的定义：，

解得：，此函数的对称轴为：a=﹣1，开口向上，

∴0＜a≤1在对称轴的右侧，k随a的增大而增大，

∴当0＜a≤1时，解得：；

（iii）若﹣1＜a≤0时，即含对称轴，且x=1离对称轴最远，如下图所示：

不难发现：当x=a时，y最大值为：，

当x=1时，y最小值为：，

根据“k属和合函数”的定义：

解得：，此函数的对称轴为：a=1，开口向上，

∴﹣1＜a≤0在对称轴的左侧，k随a的增大而减小

∴当﹣1＜a≤0时，解得：；

（iiii）若a＜﹣1时，即在对称轴右侧，如下图所示：

不难发现，当x=1时，y最小值为：，

当x=﹣1时，y最大值为：，

根据“k属和合函数”的定义：

解得：

∵a＜﹣1，

∴；

综上所述：若a＞1时，；若0＜a≤1时，；若﹣1＜a≤0时，；若a＜﹣1时，.