Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；

（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；

（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x，顶点C的坐标是（1，﹣1）；（2）y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣5）2﹣1；（3）

【解析】

（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；

（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；

（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．

（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），

得0＝4+2b，解得 b＝﹣2，

∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．

∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．

（2）∵直线与x轴交于点B，

∴点B的坐标是（4，0）．

①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，

此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．

②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，

此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．

（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．

∵DP∥x轴，

∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，

∴P（2，n）．

∵点P在直线BC上，

∴．

∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．

∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．

∴MC∥OB，

∴∠MCP＝∠OBC．

在Rt△OBC中，，

由题意得：OC＝2，，

∴．

即∠MCP的正弦值是．