Question

【题目】如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，与相交于点，连接

（1）求证：四边形是菱形．

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD＝．

【解析】

（1）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；

（2）根据菱形的性质可得∠AOD＝90°，OD＝3，然后在Rt△AOD中利用勾股定理列方程求出AO即可解决问题．

（1）证明：∵AE∥BF，

∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，

∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，

∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，

∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝BC，AB＝AD

∴AD＝BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD＝AB，

∴平行四边形四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，

∴∠AOD＝90°，OD＝3，

∵，

∴AD＝2AO，

在Rt△AOD中，AD2＝AO2＋OD2，即4AO2＝AO2＋9，

∴AO＝，

∴AD＝2AO＝．