Question

【题目】在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．

(1)如图1，当△ABC为锐角三角形时，

①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；

②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;

(2)如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①补全图形，如图1所示.见解析；猜想：∠BAE=∠BCD. 理由见解析；②见解析；（2）补全图形，如图3所示. 见解析；线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.

【解析】

(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出∠BAE﹢∠B=90°,

∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；

②在AE上截取AF=CE，可证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可证明△ADF≌△CDE，得出DF=DE, ∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.证出△EDF是等腰直角三角形，得出EF=，即可得出结论;

(2) 在CE上截取CF=AE，连接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF

由∠BAC=45°可得AD=CD，可证△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故 ，即可得线段AE，CE，DE的数量关系.

（1）①依题意，补全图形，如图1所示.

猜想：∠BAE=∠BCD.

理由如下：

∵CD⊥AB,AE⊥BC，

∴∠BAE﹢∠B=90°,

∠BCD﹢∠B=90°.

∴∠BAE=∠BCD.

②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.

连接DF.

∵∠BAC=45°,CD⊥AB,

∴△ACD是等腰直角三角形.

∴AD=CD.

又∠BAE=∠BCD,

∴△ADF≌△CDE（SAS）.

∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.

∵AB⊥CD,

∴∠ADF﹢∠FDC=90°.

∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.

∴△EDF是等腰直角三角形.

∴EF=.

∵AF+EF=AE,

∴CE+DE=AE.

（2）依题意补全图形，如图3所示.

在CE上截取CF=AE，连接DF

∵CD⊥AD，AE⊥BC

∴∠ADC=∠AEC=90°

∴∠EAB+∠ABE=90°，∠DBC+∠DCF=90°，∠ABE=∠CBD

∴∠EAD=∠DCF

∵∠BAC=45°

∴∠DCA=45°

∴AD=CD

又∵CF=AE

∴△ADE≌△CDF

∴ED=DF

∠ADE=∠CDF

∵∠CDF+∠ADF=90°

∴∠ADE+∠ADF=90°

∴∠EDF=90°

∴△EDF是等腰直角三角形

∴

∵CE=CF+EF

∴

∴线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.

故答案为：CE-DE=AE