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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象在第一象限交于点C,ABC是边长为3的等边三角形,且AB边在x轴额正半轴上,cos∠COA=

(1)求k,m的值;

(2)点P在射线OC上,且OP=5,动点Q从点P出发先沿着适当的路径运动到线段AB中垂线上的点M处,再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止,当点Q的运动路径最短时,求N点坐标及点Q运动的最短路程;

(3)将ABC绕点A进行旋转,在旋转过程中,设BC所在直线与射线OC相交于点R,与x轴正半轴交于点T,当ORT为等腰三角形时,求OT的长.

【答案】(1)k=,m=(2)+(3)OT的长为3+ 或3+或6或3﹣ +

【解析】

(1)由cos∠COA=,可得∠AOC=30°,求出点C坐标即可解决问题.
(2)如图2中,作CH⊥ABH,作PG⊥CH,使得PG=OH,作点A关于y轴的对称点A′,连接A′Gy轴于N,作NM⊥y轴,交CHM,此时点Q运动的路径P→M→N→A最短.
再想办法求出直线A′G的解析式即可解决问题.
(3)分三种情形讨论)如图3中,当OR=OT时,作AG⊥BCG,则AG=,把ATG放大(如图4中,在AG上取一点M,使得AM=MT),求出AT即可.如图5中,当RO=RT时,作BG⊥ATG.③如图6中,当TO=TR时,分别求解即可.

解:(1)如图1中,作CKABK.

cosCOA=

∴∠AOC=30°,

∵△ABC是等边三角形,边长为3,

AB=BC=AC=3,CAB=CBA=ACB=60°,

∴∠BCO=90°,

OB=2BC=6,OC=

CK=OC=,OK=CK=

∴点C坐标(),分别代入正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=

可得k=,m=

(2)如图2中,作CHABH,作PGCH,使得PG=OH,作点A关于y轴的对称点A′,连接A′Gy轴于N,作NMy轴,交CHM,此时点Q运动的路径P→M→N→A最短.理由:PM+MN+NA=PG+NG+A′N,=PG+A′G,PG=MN=桥长,A′G是线段,两点之间线段最短,∴PM+MN+NA最短.

OP=∴点P坐标(),

AH=

PG=MN=OH=

G(3,),A′(﹣3,0),

设直线A′G的解析式为y=kx+b,则有

解得

∴直线A′N的解析式为y=x+

∴点N坐标(0,),

A′G==

∴点Q运动的最短路程=A′G+PG=+

(3)①如图3中,当OR=OT时,作AGBCG,则AG=,把ATG放大(如图4中,在AG上取一点M,使得AM=MT),

∵∠ATG=75°,TAG=15°,

∴∠A=MTA=15°,

∴∠TMG=30°,设GT=a,则MT=AM=2a,MG=a,

2a+a=

a=3

AT===

OT=3+

②如图5中,当RO=RT时,作BGATG.

RO=RT,

∴∠ROT=RTO=30°,

∵∠ABC=60°=BAT+BTA,

∴∠BAT=BTA=30°,

BA=BT=3,AG=GT=ABcos30°=

AT=,OT=3+

③如图6中,当TO=TR时,

TO=TR,

∴∠TOR=TRO=30°,

∴∠OTR=120°,ATR=60°,

TC重合,

OT=OA+AC=6.

④如图7中,由②可知,当OR=OT时,OT=OA﹣AT=3﹣+

综上所述,当ORT为等腰三角形时,OT的长为3+3+63﹣+

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