【题目】如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象在第一象限交于点C,△ABC是边长为3的等边三角形,且AB边在x轴额正半轴上,cos∠COA=.
(1)求k,m的值;
(2)点P在射线OC上,且OP=5,动点Q从点P出发先沿着适当的路径运动到线段AB中垂线上的点M处,再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止,当点Q的运动路径最短时,求N点坐标及点Q运动的最短路程;
(3)将△ABC绕点A进行旋转,在旋转过程中,设BC所在直线与射线OC相交于点R,与x轴正半轴交于点T,当△ORT为等腰三角形时,求OT的长.
【答案】(1)k=,m=(2)+.(3)OT的长为3+ ﹣或3+或6或3﹣ +.
【解析】
(1)由cos∠COA=,可得∠AOC=30°,求出点C坐标即可解决问题.
(2)如图2中,作CH⊥AB于H,作PG⊥CH,使得PG=OH,作点A关于y轴的对称点A′,连接A′G交y轴于N,作NM⊥y轴,交CH于M,此时点Q运动的路径P→M→N→A最短.
再想办法求出直线A′G的解析式即可解决问题.
(3)分三种情形讨论)①如图3中,当OR=OT时,作AG⊥BC于G,则AG=,把△ATG放大(如图4中,在AG上取一点M,使得AM=MT),求出AT即可.②如图5中,当RO=RT时,作BG⊥AT于G.③如图6中,当TO=TR时,分别求解即可.
解:(1)如图1中,作CK⊥AB于K.
∵cos∠COA=,
∴∠AOC=30°,
∵△ABC是等边三角形,边长为3,
∴AB=BC=AC=3,∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°,
∴∠BCO=90°,
∴OB=2BC=6,OC=,
∴CK=OC=,OK=CK=,
∴点C坐标(,),分别代入正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=,
可得k=,m=.
(2)如图2中,作CH⊥AB于H,作PG⊥CH,使得PG=OH,作点A关于y轴的对称点A′,连接A′G交y轴于N,作NM⊥y轴,交CH于M,此时点Q运动的路径P→M→N→A最短.理由:PM+MN+NA=PG+NG+A′N,=PG+A′G,∵PG=MN=桥长,A′G是线段,两点之间线段最短,∴PM+MN+NA最短.
∵OP=,∴点P坐标(,),
∵AH=,
∴PG=MN=OH=,
∴G(3,),∵A′(﹣3,0),
设直线A′G的解析式为y=kx+b,则有,
解得,
∴直线A′N的解析式为y=x+,
∴点N坐标(0,),
∵A′G==,
∴点Q运动的最短路程=A′G+PG=+.
(3)①如图3中,当OR=OT时,作AG⊥BC于G,则AG=,把△ATG放大(如图4中,在AG上取一点M,使得AM=MT),
∵∠ATG=75°,∠TAG=15°,
∴∠A=∠MTA=15°,
∴∠TMG=30°,设GT=a,则MT=AM=2a,MG=a,
∴2a+a=,
∴a=3﹣,
∴AT===﹣,
∴OT=3+﹣,
②如图5中,当RO=RT时,作BG⊥AT于G.
∵RO=RT,
∴∠ROT=∠RTO=30°,
∵∠ABC=60°=∠BAT+∠BTA,
∴∠BAT=∠BTA=30°,
∴BA=BT=3,AG=GT=ABcos30°=,
∴AT=,OT=3+.
③如图6中,当TO=TR时,
∵TO=TR,
∴∠TOR=∠TRO=30°,
∴∠OTR=120°,∠ATR=60°,
∴T与C重合,
∴OT=OA+AC=6.
④如图7中,由②可知,当OR=OT时,OT=OA﹣AT=3﹣+.
综上所述,当△ORT为等腰三角形时,OT的长为3+﹣或3+或6或3﹣+.
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【题目】如图所示,某校九年级(3)班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动.部分同学在山脚A点处测得山腰上一点D的仰角为30°,并测得AD的长度为180米.另一部分同学在山顶B点处测得山脚A点的俯角为45°,山腰D点的俯角为60°,请你帮助他们计算出小山的高度BC.(计算过程和结果都不取近似值)
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【题目】快车和慢车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,快车到达乙地后停留了45分钟,立即按原路以另一速度匀速返回,直至与慢车相遇.已知慢车的速度为60千米/时,两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示,则快车从乙地返回时的速度为__________千米/时
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【题目】某餐厅计划购买12张餐桌和一批椅子(不少于12把),现从甲、乙两商场了解到同一型号的餐桌报价都为每张200元,餐椅报价都为每把50元.甲商场规定:每购买一张餐桌赠送一把餐椅;乙商场规定:所有餐桌、餐椅均按报价的八五折销售,那么,什么情况下到甲商场购买更优惠.
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2),过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;
(2)若反比例函数y=(x>0)的图象经过点M,在该反比例函数的图象上是否存在一点P,使△PMN的面积等于△OMN的面积的一半,若存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(3)若反比例函数y=(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.
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【题目】如图,正方形ABCD中,内部有6个全等的正方形,小正方形的顶点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上,则tan∠DEH=( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∠ACB=120°,点C在第一象限,随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y=上运动,则k的值为_____.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=40°.
(1)如图1,若D为弧AB的中点,求∠ABC和∠ABD的度数;
(2)如图2,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的度数.
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