【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2),过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;
(2)若反比例函数y=(x>0)的图象经过点M,在该反比例函数的图象上是否存在一点P,使△PMN的面积等于△OMN的面积的一半,若存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(3)若反比例函数y=(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.
【答案】(1)(2,2);(2)(1,4)或(8,);(3)4≤k≤8.
【解析】
对于(1)直接将点D,E坐标代入y=kx+b求出解析式,再将点M的纵坐标代入解析式可得答案;
对于(2),将点M坐标代入反比例函数关系式,求出m值,再根据已知条件转化面积求出相关线段长度,进而解答;
对于(3),先求出当反比例函数图象经过点M,B时m的值,进而得出范围.
解:(1)设直线DE的解析式是y=kx+b,
根据题意得:,
解得:,
则直线DE的解析式是:y=﹣x+3,
令y=2,得到2=﹣x+3,解得:x=2,则M的坐标是(2,2);
(2)把M(2,2)代入y=得;k=4,
则反比例函数的解析式是:y=,
当x=4时,y=﹣+3=1,则N(4,1),
∴MN==,
则△OMN的面积S=S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△BMN﹣S△OCN=2×4﹣﹣﹣=8﹣2﹣1﹣2=3,
∵S△PMN=S△OMN,
=,
=3,
PG=,
存在点P,设P(x,),过P作PG⊥MN于G,作PH⊥x轴于H,交直线DE于F,
∵∠PGF=∠DAM=90°,
∴∠GPF=∠DMA,
∴△PGF∽△MAD,
∴,
∴,
x=1或8,
∴P的坐标为:(1,4)或(8,);
(3)经过M的反比例函数的解析式是:y=,同时经过点N,
经过点B的反比例函数的解析式是:y=,
则反比例函数y=(x>0)的图象与△MNB有公共点时,k的范围是:4≤k≤8.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,分别在轴,轴正半轴上.
(1)的平分线与的外角平分线交于点,求的度数;
(2)设点,的坐标分别为,,且满足,求的面积;
(3)在(2)的条件下,当是以为斜边的等腰直角三角形时,请直接写出点的坐标.
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【题目】如图,一次函数 y=kx+2(k<0)的图象经过点 C(3,0),且反比例函数 y= 的图象与该一次函数的图象交于第二、四象限内的 A,B 两点.
(1)求该一次函数的解析式;
(2)若 AC=2BC,求 m 的值.
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【题目】已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm,D是AC上的一点,且BD=16cm,CD=12cm.
(1)求证:BD⊥AC;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】数学课上老师提出了如下问题:
尺规作图:作中边上的高线
已知:.
求作:中边上的高线.
下面是小东设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程.
作法:如图,
①以点为圆心,的长为半径作弧,以点为圆心,的长为半径作弧,两弧在下方交于点;
②连接交于点.
所以线段是中边上的高线.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)小乐和小马帮助小东完成下面的证明.
小乐:证明:,,
点,分别在线段的垂直平分线上(依据1).
垂直平分线段.
线段是中边上的高线.
小乐:证明:,,
又
(依据2)
∴线段是中边上的高线
上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么?
(3)请你用不同于小东的方法完成老师提出的问题.
(4)若,,,则边上的高的长度为__________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象在第一象限交于点C,△ABC是边长为3的等边三角形,且AB边在x轴额正半轴上,cos∠COA=.
(1)求k,m的值;
(2)点P在射线OC上,且OP=5,动点Q从点P出发先沿着适当的路径运动到线段AB中垂线上的点M处,再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止,当点Q的运动路径最短时,求N点坐标及点Q运动的最短路程;
(3)将△ABC绕点A进行旋转,在旋转过程中,设BC所在直线与射线OC相交于点R,与x轴正半轴交于点T,当△ORT为等腰三角形时,求OT的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点B、C重合),过点D作DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为_____.
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【题目】如图,四边形为某街心公园的平面图,经测量米,米,且.
(1)求的度数;
(2)若为公园的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计),工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况,已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米(包含100米),求被监控到的道路长度为多少?
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【题目】如图,AB∥CD,直线 EF 分别交 AB、CD于 点 E、F,EG 平分∠AEF,
(1)求证:△EGF 是等腰三角形.
(2)若∠1=40°,求∠2 的度数.
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