【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,分别在轴,轴正半轴上.
(1)的平分线与的外角平分线交于点,求的度数;
(2)设点,的坐标分别为,,且满足,求的面积;
(3)在(2)的条件下,当是以为斜边的等腰直角三角形时,请直接写出点的坐标.
【答案】(1)45°;(2)1;(3)(1.5,1.5)或(-0.5,0.5)
【解析】
(1)根据角平分线的定义即可得出∠BAC=∠OAB、∠DBA=∠EBA,再根据三角形的外角的性质即可得出∠C=∠AOB=45°;
(2)利用非负数的性质求出a,b的值,即可求得的面积;
(3)作DE⊥x轴于E,DF⊥y轴与F,可得△DEB≌△DFA,则BE=AF,DF=DE,推出四边形OEDF是正方形,OE=OF,设BE=AF=x,则OA-x=OB+x,求出x的值,即可得的坐标,同理求出点D1的坐标.
解:(1)∵AC平分∠OAB,BD平分∠EBA,
∴∠BAC=∠OAB、∠DBA=∠EBA,
∵∠EBA=∠OAB+∠AOB,
∴∠DBA=(∠OAB+∠AOB)=∠C+∠CAB,
∴∠C=(∠OAB+∠AOB)-∠CAB
=(∠OAB+∠AOB)-∠OAB
=∠AOB
=45°;
(2)∵且满足,
∴
∴a=2,b=1,
∵点,的坐标分别为,,
∴OA=2,OB=1,
∴=;
(3)作DE⊥x轴于E,DF⊥y轴与F,
∵是以为斜边的等腰直角三角形,
∴AD=BD,∠ADB=90°,
∵DE⊥x轴于E,DF⊥y轴与F,∠AOB=90°,
∴四边形OEDF是矩形,∠BED=∠AFD=90°,
∴∠EDF=90°,
∴∠EDB=∠FDA,
∴△DEB≌△DFA,
∴BE=AF,DF=DE,
∴四边形OEDF是正方形,
∴OE=OF,
设BE=AF=x,则OA-x=OB+x,
∵OA=2,OB=1,
∴x=0.5,OE=OF=1.5,
∴的坐标为(1.5,1.5),
同理可得PD1=0.5,OP=1.5-1=0.5,
D1的坐标为(-0.5,0.5),
即的坐标为(1.5,1.5)或(-0.5,0.5).
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【题目】在平面直角坐标系中,任意两点A(, ),B(, ),规定运算:①A⊕B=(, );②AB=;③当且时,A=B,有下列四个命题:(1)若A(1,2),B(2,﹣1),则A⊕B=(3,1),AB=0;
(2)若A⊕B=B⊕C,则A=C;
(3)若AB=BC,则A=C;
(4)对任意点A、B、C,均有(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)成立,其中正确命题的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】阅读材料: 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:,善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中均为整数),则有.
∴.这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
当均为正整数时,若,用含m、n的式子分别表示,得= ,= ;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数,填空: + =( + )2;
(3)若,且均为正整数,求的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系内,边长为4的等边△ABC的顶点B与原点重合,将△ABC绕顶点C顺时针旋转60°得到△ACA1,将四边形ABCA1看作一个基本图形,将此基本图形不断复制并平移,请回答:
(1)点A的坐标为 ;点A1的坐标为 .
(2)A2018的坐标为 .
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【题目】如图,从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,此时热气球C处所在位置到地面上点A的距离为400米.求地面上A,B两点间的距离.
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【题目】如图所示,某校九年级(3)班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动.部分同学在山脚A点处测得山腰上一点D的仰角为30°,并测得AD的长度为180米.另一部分同学在山顶B点处测得山脚A点的俯角为45°,山腰D点的俯角为60°,请你帮助他们计算出小山的高度BC.(计算过程和结果都不取近似值)
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【题目】小华是花店的一名花艺师,她每天都要为花店制作普通花束和精致花束,她每月工作20天,每天工作8小时,她的工资由基本工资和提成工资两部分构成,每月的基本工资为l800元,另每制作一束普通花束可提2元,每制作一束精致花束可提5元.她制作两种花束的数量与所用时间的关系见下表:
制作普通花束(束) | 制作精致花束(束) | 所用时间(分钟) |
10 | 25 | 600 |
15 | 30 | 750 |
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)小华每制作一束普通花束和每制作一束精致花束分别需要多少分钟?
(2)2019年11月花店老板要求小华本月制作普通花束的总时间不少于3000分钟且不超过5000分钟,则小华该月收入最多是多少元?此时小华本月制作普通花束和制作精致花束分别是多少束?
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2),过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;
(2)若反比例函数y=(x>0)的图象经过点M,在该反比例函数的图象上是否存在一点P,使△PMN的面积等于△OMN的面积的一半,若存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(3)若反比例函数y=(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.
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