Question

【题目】已知，直线l1：y=﹣x+n过点A（﹣1，3），双曲线C：y= （x＞0），过点B（1，2），动直线l2：y=kx﹣2k+2（常数k＜0）恒过定点F．

（1）求直线l1 ， 双曲线C的解析式，定点F的坐标；
（2）在双曲线C上取一点P（x，y），过P作x轴的平行线交直线l1于M，连接PF．求证：PF=PM．
（3）若动直线l2与双曲线C交于P1 ， P2两点，连接OF交直线l1于点E，连接P1E，P2E，求证：EF平分∠P1EP2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线l1：y=﹣x+n过点A（﹣1，3），

∴﹣（﹣1）+n=3，

解得：n=2，

∴直线l1的解析式为：y=﹣x+2，

∵双曲线C：y= （x＞0）过点B（1，2），

∴m=xy=1×2=2，

即双曲线C的解析式为：y= ，

∵动直线l2：y=kx﹣2k+2=k（x﹣2）+2，

∴不论k为任何负数时，当x=2时，则y=2，

即动直线l2：y=kx﹣2k+2恒过定点F（2，2）

（2）证明：如图1，在双曲线C上任取一点P（x，y），过P作x轴的平行线交直线l1于M（x0，y），连接PF．

则PF=x﹣x0，

又∵M（x0，y）在直线l1上，

∴﹣x0+2=y，

∴x0=2﹣y=2﹣ ，

∴PM=x+ ﹣2，

又∵PF= = = = =x+ ﹣2；

（注：x+ ﹣2=（ ）2+（ ）2﹣2 +2 ﹣2=（ ﹣ ）2+2 ﹣2=（ ﹣ ）2+2（ ﹣1）≥2（ ﹣1）＞0）

∴PM=PF；

（3）证明：证明：如图2，过P1分别作P1M1∥x轴交l1于M1，作P1N1⊥l1，垂足为N1，过P2分别作P2M2∥x轴交l1于M2，作P2N2⊥l1，垂足为N2，

∵直线l1的解析式为y=﹣x+2，

∴△P1M1N1和△P2M2N2都是等腰直角三角形．

∴P1N1= P1M1= P1F，P2N2= P2M2= P2F，

∵直线EF的解析为：y=x，

∴EF⊥l1，

∴P1N1∥EF∥P2N2，

∴ = = ，

即 = ，

∴△P1N1E∽△P2N2E，

∴∠P1EN1=∠P2EN2，

∵∠P1EF=90°﹣∠P1EN1，∠P2EF=90°﹣∠P2EN2，

∴∠P1EF=∠P2EF，

∴EF平分∠P1EP2．

【解析】（1）由直线l1：y=﹣x+n过点A（﹣1，3），双曲线C：y= （x＞0），过点B（1，2），利用待定系数法即可求得直线l1，双曲线C的解析式；由动直线l2：y=kx﹣2k+2，配方法可求得定点F的坐标；（2）首先在双曲线C上任取一点P（x，y），过P作x轴的平行线交直线l1于M（x0，y），连接PF．然后分别求得PM与PF的长，继而证得结论；（3）首先过P1分别作P1M1∥x轴交l1于M1，作P1N1⊥l1，垂足为N1，过P2分别作P2M2∥x轴交l1于M2，作P2N2⊥l1，垂足为N2，易证得EF⊥l1，可得P1N1∥EF∥P2N2，继而证得△P1N1E∽△P2N2E，然后由相似三角形的对应角相等，证得结论．