Question

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax-3与x轴交于A、B，且AB=4，与y轴交于C点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发在线段BC上以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度向C点运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）若平行于直线AC的直线与抛物线交于M、N两点，若抛物线上存在一个定点D，使过D点且平行于x轴的直线DE平分∠MDN，求D点坐标和$\frac{AD}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先对称轴公式算出对称轴，再根据AB=4，得出A、B两点坐标，将其中一个点的坐标代入解析式即可求出a；
（2）用t表示出PB和PB边上的高，得出面积与t的函数关系式，配方得出最大值；
（3）过点M作ME⊥DE于E，过点N作NF⊥DE于F，根据∠MDE=∠NDE得出△MDE∽△NDE，设出M、N、D三点的坐标（只设横坐标，纵坐标用横坐标表示），分别用横坐标之差、纵坐标之差表示出两个相似三角形的直角边，列出比例等式；设出MN的解析式，与抛物线方程联立，得出两根之和的关系式，结合前面的比例等式解出D点的横坐标，进而算出纵坐标，用两点间的距离公式长出AD、CD的长度，其比值也就自然算出．

解答 解：（1）抛物线y=ax²-2ax-3的对称轴为：x=$-\frac{-2a}{2a}$=1，
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），
将A（-1，0）代入y=ax²-2ax-3解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；
（2）如图1，作QD⊥x轴于点E，

∵OP=3t，OB=3，
∴PB=3-3t，
∵C（0，-3），B（3，0），
∴OB=OC=3，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵QE⊥OB，
∴△QEB也是等腰直角三角形，
∴$EQ=\frac{\sqrt{2}}{2}BQ=\sqrt{2}t$，
∴${S}_{△PBQ}=\frac{1}{2}×PB×EQ$=$-\frac{3\sqrt{2}}{2}{t}^{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}t$=$-\frac{3\sqrt{2}}{2}（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，△PBQ的最大面积为$\frac{3\sqrt{2}}{8}$；
（3）如图2，过点M作ME⊥DE于E，过点N作NF⊥DE于F，

设M（x₁，${{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}-3$），N（x₂，${{x}_{2}}^{2}-2x-3$），D（x₀，${{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}-3$），
则：ME=${{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}-3-{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+3$=${{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}-{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}$=（x₁-x₀）（x₁+x₀）-2（x₁-x₀）=（x₁+x₀-2）（x₁-x₀）
DE=x₀-x₁，
DN=${{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}-3-{{x}_{2}}^{2}+2x+3$=（x₀+x₂-2）（x₀-x₁），
DF=x₀-x₂，
∵∠MDE=∠NDE，
∴△MDE∽△NDE，
∴$\frac{ME}{DE}=\frac{NF}{DF}$，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{0}-2）（{x}_{1}-{x}_{0}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=$\frac{（{x}_{0}+{x}_{2}-2）（{x}_{0}-{x}_{1}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，
∴${x}_{0}=\frac{-（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}{2}$，
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴直线AC的解析式为：y=-3x-3
∵MN∥AC，
∴设直线MN的解析式为y=-3x+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+b}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$消去y整理得：x²-x-3-b=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=1，
∴${x}_{0}=\frac{3}{2}$，
∴${{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}-3=-\frac{15}{4}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，$-\frac{15}{4}$），
∴AD=$\sqrt{（-1-\frac{3}{2}）^{2}+（0+\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，
∴CD=$\sqrt{（0-\frac{3}{2}）^{2}+（-3+\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{65}}{3}$．

点评 本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线的对称性、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积计算、配方法求二次函数最值、角平分线的定义、两点间的距离公式、韦达定理等众多知识点，综合性很强，难度较大．本题第（3）问使用代数手段解决几何问题，是几何与代数的巧妙结合，有很强的解析性质，是难点所在，熟练掌握这些技巧，对今后高中的数学学习有很大的帮助．