Question

如图，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图（1）中有AG=CE，AG⊥CE．
（1）当正方形GFED绕D旋转到图（2）和图（3）的位置时，AG、CE满足什么样关系，请写出你的猜想，并对图（3）给予证明．
（2）填空，在图（3）中，当AD=4，DG=

2

时，则点C到AG的距离为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）延长CE交AD于0，交AG于H，根据正方形的性质得AD=CD，DG=DE，∠ADG=∠ADE=45°，则∠CDE=45°，于是可根据“SAS”判定△ADG≌△CDE，得到AG=CE，∠1=∠2，然后根据三角形内角和和得到∠AHO=∠CDO=90°，则CH⊥AG，AG=CE，AG⊥CE；
（2）作GP⊥AD于P，如图3，易得△PDG为等腰直角三角形，得到PD=PG=

2

2

DG=1，则AP=AD-PD=3，在Rt△AGP中利用勾股定理可计算出AG=

10

，接着证明Rt△AGP∽Rt△COD，利用相似比可计算出OC=

4 10

3

，OD=

4

3

，所以AO=AD-OD=

8

3

，然后证明Rt△AHO∽Rt△CDO，利用相似可计算出OH=

4 10

15

，再利用CH=CO+OH进行计算即可．

解答：解：（1）AG=CE，AG⊥CE．
证明如下：如图（3），
延长CE交AD于0，交AG于H，
∵四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，
∴AD=CD，DG=DE，
而点F在AD上，
∴∠ADG=∠ADE=45°，
∴∠CDE=45°，
在△AGD和△CED中，

AD=CD ∠ADG=∠CDE DG=DE

，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG=CE，∠1=∠2，
∵∠AOH=∠COD，
∴∠AHO=∠CDO=90°，
∴CH⊥AG，
即AG⊥CE；
（2）作GP⊥AD于P，如图3，
在Rt△DGP中，∵∠GDP=45°，
∴△PDG为等腰直角三角形，
∴PD=PG=

2

2

DG=

2

2

×

2

=1，
∴AP=AD-PD=4-1=3，
在Rt△AGP中，AG=

PG2+AP2

=

10

，
∵∠1=∠2，
∴Rt△AGP∽Rt△COD，
∴

AG

CO

=

PG

OD

=

AP

CD

，即

10

OC

=

1

OD

=

3

4

，
∴OC=

4 10

3

，OD=

4

3

，
∴AO=AD-OD=4-

4

3

=

8

3

，
∵∠1=∠2，
∴Rt△AHO∽Rt△CDO，
∴

OH

OD

=

OA

OC

，即

OH

4 3

=

8 3

4 10 3

，
∴OH=

4 10

15

，
∴CH=CO+OH=

4 10

3

+

4 10

15

=

8 10

5

，
即点C到AG的距离为

8 10

5

．
故答案为

8 10

5

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质和正方形的性质．